22. Dar la proyección ortogonal sobre el subespacio vectorial F de los vectores indicados en cada uno de los casos siguientes: a) E = R3, F = [(...

Para encontrar a projeção ortogonal de um vetor v sobre um subespaço F, podemos usar a fórmula: projF(v) = ((v · u1) / (u1 · u1)) * u1 + ((v · u2) / (u2 · u2)) * u2 + ... + ((v · un) / (un · un)) * un Onde u1, u2, ..., un são vetores que formam uma base para o subespaço F. No caso a), temos E = R3, F = [(1, 0, -1), (0, 1, 1)] e v = (1, 1, 1). Podemos calcular a projeção ortogonal da seguinte forma: projF(v) = ((v · u1) / (u1 · u1)) * u1 + ((v · u2) / (u2 · u2)) * u2 Calculando os produtos internos: v · u1 = (1, 1, 1) · (1, 0, -1) = 1 + 0 - 1 = 0 u1 · u1 = (1, 0, -1) · (1, 0, -1) = 1 + 0 + 1 = 2 v · u2 = (1, 1, 1) · (0, 1, 1) = 0 + 1 + 1 = 2 u2 · u2 = (0, 1, 1) · (0, 1, 1) = 0 + 1 + 1 = 2 Substituindo na fórmula: projF(v) = (0/2) * (1, 0, -1) + (2/2) * (0, 1, 1) = 0 * (1, 0, -1) + 1 * (0, 1, 1) = (0, 1, 1) Portanto, a projeção ortogonal de v = (1, 1, 1) sobre F = [(1, 0, -1), (0, 1, 1)] é (0, 1, 1). No caso b), temos E = Rn, F = {(x1, ..., xn) | x1 - ... - xn = 0} e v = (1, 2, ..., n). Nesse caso, a base do subespaço F não está especificada, então não é possível calcular a projeção ortogonal sem essa informação adicional.