33. Dada la matriz A =

−6 −1 9
−7 −2 13
−5 −1 8

, comprueba que tiene tres autovalores simples y calcula un autovector asociado a cada uno de el...

Question

33. Dada la matriz A = −6 −1 9−7 −2 13−5 −1 8, comprueba que tiene tres autovalores simples y calcula un autovector asociado a cada uno de ellos.Solución: El polinomio caracteŕıstico se puede calcular algo pesadamente usando Sarrus, pero al final casi todo se cancela y queda λ3 − λ. Es más sencillo si se empieza por ejemplo con F1 − F3:p(λ) = ∣∣∣∣∣∣λ+ 6 1 −97 λ+ 2 −135 1 λ− 8∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ+ 1 0 −λ− 17 λ+ 2 −135 1 λ− 8∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ+ 1 0 07 λ+ 2 −65 1 λ− 3∣∣∣∣∣∣=(λ+ 1) ·∣∣∣λ+ 2 −61 λ− 3∣∣∣∣= (λ+ 1)(λ2 − λ− 6 + 6) = λ(λ− 1)(λ+ 1)Por tanto hay tres autovalores simples: 0, 1 y −1. Para cada uno encontramos un autovector resolviendo el sistema λ I − A correspondiente. En todos es conveniente tomar el pimer pivote en la 2 columna:λ = 0  0I −A =6 1 −97 2 −135 1 −8 →6 1 −9−5 0 5−1 0 1 →(6 1 −91 0 −1)→(0 1 −31 0 −1)Para z = 1 se tiene x = 1 e y = 3, por lo que (1, 3, 1) es un autovector para λ = 0.λ = 1  I −A =7 1 −97 3 −135 1 −7 →7 1 −9−14 0 14−2 0 2 →(7 1 −91 0 −1)→(0 1 −21 0 −1)Matemáticas de 1 , problemas 48 Alberto del Valle Robles

Ed · Answer

Para verificar os autovalores e autovetores da matriz A, podemos seguir os seguintes passos:

1. Calcule o polinômio característico da matriz A. O polinômio característico é dado por p(λ) = det(A - λI), onde A é a matriz dada e I é a matriz identidade.

2. Encontre os valores de λ que tornam p(λ) = 0. Esses são os autovalores da matriz A.

3. Para cada autovalor encontrado, resolva o sistema de equações (A - λI)x = 0 para encontrar os autovetores correspondentes.

Vamos seguir esses passos para a matriz A:

1. Calculando o polinômio característico:
p(λ) = det(A - λI)
      = det( [[-6, -1, 9], [-7, -2, 13], [-5, -1, 8]] - λ[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])
      = det( [[-6-λ, -1, 9], [-7, -2-λ, 13], [-5, -1, 8-λ]])

2. Encontrando os autovalores:
Para encontrar os autovalores, igualamos o polinômio característico a zero e resolvemos a equação p(λ) = 0.

3. Resolvendo o sistema de equações para cada autovalor:
Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema de equações (A - λI)x = 0 para encontrar os autovetores correspondentes.

Lembrando que os autovetores são as soluções não triviais do sistema homogêneo (A - λI)x = 0.

Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.

33. Dada la matriz A = −6 −1 9 −7 −2 13 −5 −1 8 , comprueba que tiene tres autovalores simples y calcula un autovector asociado a cada uno de el...

Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

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Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (16)

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