Encuentra el dominio y los puntos críticos de la función f(x) = 3√(x^2 − 12) + 3√(6− x^2).

Para encontrar o domínio da função f(x) = 3√(x^2 - 12) + 3√(6 - x^2), devemos considerar as restrições que podem ocorrer nas raízes quadradas. Primeiro, vamos analisar o domínio da primeira raiz quadrada, x^2 - 12. Para que essa raiz quadrada seja real, o radicando (x^2 - 12) deve ser maior ou igual a zero. Portanto, temos a seguinte inequação: x^2 - 12 ≥ 0 Resolvendo essa inequação, encontramos: x^2 ≥ 12 x ≥ √12 ou x ≤ -√12 Portanto, o domínio da primeira raiz quadrada é dado por x ≤ -√12 ou x ≥ √12. Agora, vamos analisar o domínio da segunda raiz quadrada, 6 - x^2. Para que essa raiz quadrada seja real, o radicando (6 - x^2) deve ser maior ou igual a zero. Temos a seguinte inequação: 6 - x^2 ≥ 0 Resolvendo essa inequação, encontramos: x^2 ≤ 6 -√6 ≤ x ≤ √6 Portanto, o domínio da segunda raiz quadrada é dado por -√6 ≤ x ≤ √6. Agora, para encontrar os pontos críticos da função, devemos derivá-la em relação a x e igualar a zero: f'(x) = 0 A derivada da função f(x) é dada por: f'(x) = (3/2) * (x / √(x^2 - 12)) - (3/2) * (x / √(6 - x^2)) Igualando a derivada a zero, temos: (3/2) * (x / √(x^2 - 12)) - (3/2) * (x / √(6 - x^2)) = 0 Simplificando a expressão, encontramos: x / √(x^2 - 12) = x / √(6 - x^2) Multiplicando ambos os lados por √(x^2 - 12) * √(6 - x^2), temos: x * √(6 - x^2) = x * √(x^2 - 12) Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos: x^2 * (6 - x^2) = x^2 * (x^2 - 12) Simplificando a expressão, encontramos: 6x^2 - x^4 = x^4 - 12x^2 2x^4 - 18x^2 = 0 Dividindo ambos os lados por 2x^2, temos: x^2 - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 Portanto, os pontos críticos da função são x = 3 e x = -3. Em resumo, o domínio da função é dado por x ≤ -√12 ou x ≥ √12 e -√6 ≤ x ≤ √6, e os pontos críticos são x = 3 e x = -3.