Se considera un triángulo isósceles como el de la figura (lado desigual de longitud 12, altura sobre ese lado de longitud 5) y un punto P en esa ...

Se considera un triángulo isósceles como el de la figura (lado desigual de longitud 12, altura sobre ese lado de longitud 5) y un punto P en esa altura que está a distancia x de la base (con 0 ≤ x ≤ 5). Se pide:
bP
12
5
x
a) Demuestra que la función que da la suma de las distancias de P a los tres vértices es f(x) = 5− x+ 2√x2 + 36.
b) Calcula la fórmula general de f ′(x) y la de f ′′(x), simplificándolas todo lo que puedas.
c) Calcula el valor de x para que esa suma de distancias alcance un extremo relativo, y determina si se trata de un máximo o un mı́nimo.
d) Calcula la suma de distancias para ese valor de x, simplificando el resultado.
Solución: a) La distancia de P al vértice superior es 5− x, y la distancia de P a cada uno de los otros vértices es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos x y 6, o sea √x2 + 36.
b) f ′(x) = (5− x+ 2(x2 + 36)1/2)′ = −1 + 212(x2 + 36)−1/22x = −1 + 2x(x2 + 36)−1/2.
f ′′(x) = 2(x2+36)−1/2+2x−12 (x2+36)−3/22x = 2(x2+36)−3/2[x2 + 36− x2] = 72(x2+36)−3/2.
c) Como la derivada segunda siempre es positiva, los puntos cŕıticos (soluciones de f ′(x) = 0 con 0 ≤ x ≤ 5) serán mı́nimos relativos. Resolvemos f ′(x) = 0: 2x(x2 + 36)−1/2 = 1 ⇔ 2x = (x2 + 36)1/2 ⇔ 4x2 = x2 + 36 ⇔ x2 = 12 ⇔ x = 2√3 (puesto que solo se toma el valor positivo; nótese que 2√3 < 5 porque 12 < 25). Por tanto en x = 2√3 se alcanza un mı́nimo relativo.
d) Para ese valor de x la suma de las distancias vale f(2√3) = 5− 2√3 + 2√12 + 36 = 5 + 6√3.