Dada la función f(x) = (1+x) ln(1+x), calcula su polinomio de Maclaurin de grado 3, úsalo para calcular el valor de 1,1 · ln(1,1) y acota el error ...

Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función f(x) = (1+x) ln(1+x), podemos utilizar la fórmula general del polinomio de Maclaurin: P(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + (f'''(0)/3!)x^3 Primero, calculemos las derivadas de la función f(x): f'(x) = ln(1+x) + (1+x)(1/(1+x)) = ln(1+x) + 1 f''(x) = 1/(1+x) f'''(x) = -1/(1+x)^2 Ahora, evaluemos estas derivadas en x = 0: f(0) = (1+0) ln(1+0) = 0 f'(0) = ln(1+0) + 1 = 1 f''(0) = 1/(1+0) = 1 f'''(0) = -1/(1+0)^2 = -1 Sustituyendo estos valores en la fórmula del polinomio de Maclaurin, obtenemos: P(x) = 0 + 1x + (1/2)x^2 + (-1/6)x^3 Para calcular el valor de 1,1 · ln(1,1) utilizando este polinomio de Maclaurin, simplemente sustituimos x = 1,1 en el polinomio: P(1,1) = 0 + 1(1,1) + (1/2)(1,1)^2 + (-1/6)(1,1)^3 P(1,1) ≈ 1,1 + 0,605 + (-0,1815) ≈ 1,5235 Para acotar el error cometido al hacer esta aproximación, podemos utilizar el teorema del valor medio para polinomios de Taylor. El error está dado por la siguiente fórmula: Error ≤ (M/factorial(n+1)) * |x-a|^(n+1) Donde M es el máximo valor absoluto de la derivada (n+1)-ésima en el intervalo considerado, n es el grado del polinomio de Maclaurin, x es el punto en el que se evalúa el polinomio y a es el punto alrededor del cual se realiza la aproximación. En este caso, n = 3, x = 1,1 y a = 0. La derivada (n+1)-ésima es f''''(x) = 2/(1+x)^3, y su máximo valor absoluto en el intervalo [0, 1,1] es M = 2/(1+1,1)^3 ≈ 0,1815. Sustituyendo estos valores en la fórmula del error, obtenemos: Error ≤ (0,1815/4!) * |1,1-0|^4 ≈ 0,00015125 Por lo tanto, el error cometido al hacer la aproximación es menor o igual a 0,00015125.