Estudia el ĺımite ĺım(x,y)→(0,0) (xy)2/(xy3 + (x− y)2).

O limite da função (xy)²/(xy³ + (x - y)²) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) pode ser encontrado usando a técnica de fatoração. Vamos analisar o limite em duas partes: 1) Primeiro, vamos fatorar o denominador (xy³ + (x - y)²): xy³ + (x - y)² = y³(x + y) + (x - y)² 2) Agora, vamos reescrever a função original usando a fatoração: (xy)²/(xy³ + (x - y)²) = (xy)² / [y³(x + y) + (x - y)²] 3) Agora, podemos simplificar a função: (xy)² / [y³(x + y) + (x - y)²] = (xy)² / [y³(x + y) + (x - y)²] = (xy)² / [y³x + y⁴ + x² - 2xy + y²] 4) Agora, vamos analisar o limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0): lim(x,y)→(0,0) [(xy)² / [y³x + y⁴ + x² - 2xy + y²]] Para resolver esse limite, podemos usar a técnica de substituição direta. Substituindo x = 0 e y = 0 na função, obtemos: lim(x,y)→(0,0) [(0)² / [0³(0) + 0⁴ + 0² - 2(0)(0) + 0²]] = lim(x,y)→(0,0) [0 / 0] Nesse caso, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver essa indeterminação, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente e, em seguida, calcular o limite novamente. Aplicando essa regra, temos: lim(x,y)→(0,0) [(2xy) / [3y² + 4y³ - 2y + 2xy]] Agora, podemos substituir x = 0 e y = 0 novamente: lim(x,y)→(0,0) [(2(0)(0)) / [3(0)² + 4(0)³ - 2(0) + 2(0)(0)]] = lim(x,y)→(0,0) [0 / 0] Ainda temos uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente, derivando o numerador e o denominador separadamente: lim(x,y)→(0,0) [(2) / [6y + 12y² - 2]] Substituindo x = 0 e y = 0 novamente: lim(x,y)→(0,0) [(2) / [6(0) + 12(0)² - 2]] = lim(x,y)→(0,0) [(2) / [-2]] = -1 Portanto, o limite da função é -1 quando (x, y) se aproxima de (0, 0).