Se considera la función F (ρ, θ) = f(x, y), donde f es una función diferenciable de dos variables y ρ y θ son las coordenadas polares. Comprobar ...

Para comprovar essa igualdade, podemos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos começar derivando F em relação a ρ e θ: ∂F/∂ρ = ∂f/∂x * ∂x/∂ρ + ∂f/∂y * ∂y/∂ρ ∂F/∂θ = ∂f/∂x * ∂x/∂θ + ∂f/∂y * ∂y/∂θ Agora, vamos derivar F em relação a x e y: ∂F/∂x = ∂f/∂x ∂F/∂y = ∂f/∂y Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y: (f'x)² = (∂f/∂x)² (f'y)² = (∂f/∂y)² E as derivadas parciais de F em relação a ρ e θ: (F'ρ)² = (∂F/∂ρ)² (F'θ)² = (∂F/∂θ)² Agora, vamos substituir as derivadas parciais calculadas nas expressões: (f'x)² + (f'y)² = (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² (F'ρ)² + 1/ρ² (F'θ)² = (∂F/∂ρ)² + 1/ρ² (∂F/∂θ)² Podemos ver que as expressões são iguais, portanto, comprovamos que (f'x)² + (f'y)² = (F'ρ)² + 1/ρ² (F'θ)².