Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que si {Ai} es cualquier colección de subconjuntos de X, se verifica: (i) f(⋃Ai) = ⋃f(Ai). (ii) f(⋂Ai) ⊂ ...

Para demonstrar as propriedades (i) e (ii), vamos usar a definição de imagem direta de um conjunto sob uma função. (i) Para demonstrar que f(⋃Ai) = ⋃f(Ai), vamos mostrar que todo elemento em f(⋃Ai) está em ⋃f(Ai) e vice-versa. - Seja y um elemento em f(⋃Ai). Isso significa que existe um elemento x em ⋃Ai tal que f(x) = y. Como x está em ⋃Ai, então x está em algum conjunto Ai. Portanto, y = f(x) está em f(Ai) para algum conjunto Ai. Assim, y está em ⋃f(Ai). - Agora, seja y um elemento em ⋃f(Ai). Isso significa que existe um conjunto f(Ai) tal que y está em f(Ai). Portanto, existe um elemento x em Ai tal que f(x) = y. Como x está em Ai, então x está em ⋃Ai. Portanto, y = f(x) está em f(⋃Ai). Dessa forma, mostramos que todo elemento em f(⋃Ai) está em ⋃f(Ai) e vice-versa, o que implica que f(⋃Ai) = ⋃f(Ai). (ii) Para demonstrar que f(⋂Ai) ⊂ ⋂f(Ai), vamos mostrar que todo elemento em f(⋂Ai) está em ⋂f(Ai). - Seja y um elemento em f(⋂Ai). Isso significa que existe um elemento x em ⋂Ai tal que f(x) = y. Portanto, para todo conjunto Ai, temos que x está em Ai, o que implica que y = f(x) está em f(Ai) para todo conjunto Ai. Assim, y está em ⋂f(Ai). Dessa forma, mostramos que todo elemento em f(⋂Ai) está em ⋂f(Ai), o que implica que f(⋂Ai) ⊂ ⋂f(Ai). Portanto, as propriedades (i) e (ii) são demonstradas.