Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos B1 y B2 de Y se verifica: (i) f−1(B1 −B2) = f−1(B1)− f−1(B2). (ii) ...

Para demonstrar as propriedades (i) e (ii), podemos usar a definição de pré-imagem de uma função. (i) Para demonstrar que f^(-1)(B1 - B2) = f^(-1)(B1) - f^(-1)(B2), precisamos mostrar que um elemento x pertence à f^(-1)(B1 - B2) se e somente se ele pertence à f^(-1)(B1) - f^(-1)(B2). Suponha que x pertença à f^(-1)(B1 - B2). Isso significa que f(x) pertence a B1 - B2. Portanto, f(x) pertence a B1 e f(x) não pertence a B2. Isso implica que x pertence a f^(-1)(B1) e x não pertence a f^(-1)(B2). Portanto, x pertence a f^(-1)(B1) - f^(-1)(B2). Agora, suponha que x pertença a f^(-1)(B1) - f^(-1)(B2). Isso significa que x pertence a f^(-1)(B1) e x não pertence a f^(-1)(B2). Isso implica que f(x) pertence a B1 e f(x) não pertence a B2. Portanto, f(x) pertence a B1 - B2, o que implica que x pertence a f^(-1)(B1 - B2). Portanto, f^(-1)(B1 - B2) = f^(-1)(B1) - f^(-1)(B2). (ii) Para demonstrar que B1 ⊂ B2 ⇒ f^(-1)(B1) ⊂ f^(-1)(B2), podemos usar a definição de pré-imagem novamente. Suponha que B1 ⊂ B2. Isso significa que para todo y em B1, y também pertence a B2. Agora, suponha que x pertença a f^(-1)(B1). Isso significa que f(x) pertence a B1. Mas como B1 ⊂ B2, temos que f(x) também pertence a B2. Portanto, x pertence a f^(-1)(B2). Portanto, B1 ⊂ B2 ⇒ f^(-1)(B1) ⊂ f^(-1)(B2). Essas são as demonstrações das propriedades (i) e (ii) para qualquer aplicação f : X → Y.