4. Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos B1 y B2 de Y se verifica: (i) f−1 (B1 ∪B2) = f−1 (B1) ∪ f−1 (B2)...

Para demonstrar as igualdades (i) e (ii), vamos usar a definição de pré-imagem de uma função. (i) Para demonstrar que f^(-1)(B1 ∪ B2) = f^(-1)(B1) ∪ f^(-1)(B2), precisamos mostrar que todo elemento x pertencente a f^(-1)(B1 ∪ B2) também pertence a f^(-1)(B1) ∪ f^(-1)(B2), e vice-versa. Suponha que x pertença a f^(-1)(B1 ∪ B2). Isso significa que f(x) pertence a B1 ∪ B2. Portanto, f(x) pertence a B1 ou f(x) pertence a B2. Se f(x) pertence a B1, então x pertence a f^(-1)(B1), e se f(x) pertence a B2, então x pertence a f^(-1)(B2). Portanto, x pertence a f^(-1)(B1) ∪ f^(-1)(B2). Agora, suponha que x pertença a f^(-1)(B1) ∪ f^(-1)(B2). Isso significa que x pertence a f^(-1)(B1) ou x pertence a f^(-1)(B2). Se x pertence a f^(-1)(B1), então f(x) pertence a B1, e se x pertence a f^(-1)(B2), então f(x) pertence a B2. Portanto, f(x) pertence a B1 ∪ B2, o que implica que x pertence a f^(-1)(B1 ∪ B2). Assim, demonstramos que f^(-1)(B1 ∪ B2) = f^(-1)(B1) ∪ f^(-1)(B2). (ii) Para demonstrar que f^(-1)(B1 ∩ B2) = f^(-1)(B1) ∩ f^(-1)(B2), podemos usar um raciocínio semelhante ao da demonstração anterior. Suponha que x pertença a f^(-1)(B1 ∩ B2). Isso significa que f(x) pertence a B1 ∩ B2. Portanto, f(x) pertence a B1 e f(x) pertence a B2. Isso implica que x pertence a f^(-1)(B1) e x pertence a f^(-1)(B2). Portanto, x pertence a f^(-1)(B1) ∩ f^(-1)(B2). Agora, suponha que x pertença a f^(-1)(B1) ∩ f^(-1)(B2). Isso significa que x pertence a f^(-1)(B1) e x pertence a f^(-1)(B2). Isso implica que f(x) pertence a B1 e f(x) pertence a B2. Portanto, f(x) pertence a B1 ∩ B2, o que implica que x pertence a f^(-1)(B1 ∩ B2). Assim, demonstramos que f^(-1)(B1 ∩ B2) = f^(-1)(B1) ∩ f^(-1)(B2). Portanto, as igualdades (i) e (ii) estão demonstradas.