3.8. Factorización canónica de la función seno Efectuar la factorización canónica de la aplicación f : R→ R, f(x) = sen x. Solución. La rela...

3.8. Factorización canónica de la función seno
Efectuar la factorización canónica de la aplicación f : R→ R, f(x) = sen x.
Solución. La relación de equivalencia ∼ asociada a la aplicación f es s ∼ t
⇔ f(s) = f(t), o bien s ∼ t ⇔ sen s = sen t. Determinemos R/ ∼ . Una
clase genérica es:
[x] = {s ∈ R : s ∼ x} = {s ∈ R : f(s) = f(x)} = {s ∈ R : sen s = sen x}.
Observemos que existe un único valor vx en el intervalo [−π/2, π/2] de forma
que sen x = sen vx. Es decir, la clase de equivalencia [x] viene determinada
por el número vx, lo cual permite identificar R/ ∼ con [−π/2, π/2]. Por otra
parte, Im f = [−1, 1]. La factorización canónica de f es por tanto
R f−−−−→ R
n ↓ ↑ i
[−π/2, π/2] g−−→ [−1, 1]

n(x) = vx
g (vx) = sen vx
i(y) = y.