Capítulo 4. Grupos 4.23. Centro de un grupo de matrices Demostrar que el conjunto H de matrices de la forma X = 1 x z0 1 y 0 0 1  x, y, z ∈ R, ...

Capítulo 4. Grupos
4.23. Centro de un grupo de matrices
Demostrar que el conjunto H de matrices de la forma
X =
1 x z0 1 y
0 0 1
 x, y, z ∈ R,
forma un grupo con la operación producto de matrices. Calcular su centro.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Caminos, UPM).
Solución. Veamos que H es un subgrupo del grupo multiplicativo G formado por las matrices invertibles 3×3. Toda matriz X de H tiene determinante no nulo, en consecuencia, H ⊂ G. Claramente H 6= ∅, por tanto basta demostrar que para todo par de matrices X,Y de H se verifica XY −1 ∈ H.
Denotemos
X =
1 x z0 1 y
0 0 1
 , Y =
1 x′ z′0 1 y′
0 0 1
 .
Entonces,
XY −1 =
1 x z0 1 y
0 0 1
1 −x′ x′y′ − z′0 1 −y′
0 0 1

=
1 x− x′ y′(x′ − x) + z − z′0 1 y − y′
0 0 1
 ∈ H.
Si A ∈ Z(H) (centro de H) será de la forma:
A =
1 a c0 1 b
0 0 1
 (a, b, c ∈ R),
es decir
A ∈ Z(H)⇔ XA = AX ∀X ∈ H ⇔
1 a+ x c+ bx+ z0 1 b+ y
0 0 1

=
1 x+ a z + ay + c0 1 y + b
0 0 1
⇔ bx = ay ∀x, y ∈ R⇔ a = b = 0.
El centro de H es por tanto
Z(H) = { A =
1 0 c0 1 0
0 0 1
 : c ∈ R }.