4. Se considera el conjunto de matrices: A = { [ x y -y x ] : x, y ∈ R}. Demostrar que A es un subanillo del anillo usual M2(R) de las matrices cua...

Para demonstrar que A é um subanel do anel usual M2(R) das matrizes quadradas reais de ordem 2, precisamos verificar três propriedades: fechamento aditivo, fechamento multiplicativo e existência do elemento identidade. 1. Fechamento aditivo: Para mostrar que A é fechado em relação à adição, devemos verificar se a soma de duas matrizes em A também está em A. Considere duas matrizes A1 e A2 em A: A1 = [x1 y1 -y1 x1] A2 = [x2 y2 -y2 x2] A soma A1 + A2 é dada por: A1 + A2 = [x1 + x2 y1 + y2 -(y1 + y2) x1 + x2] Podemos ver que a soma A1 + A2 também está na forma [x y -y x], portanto, A é fechado em relação à adição. 2. Fechamento multiplicativo: Para mostrar que A é fechado em relação à multiplicação, devemos verificar se o produto de duas matrizes em A também está em A. Considere duas matrizes A1 e A2 em A: A1 = [x1 y1 -y1 x1] A2 = [x2 y2 -y2 x2] O produto A1 * A2 é dado por: A1 * A2 = [x1*x2 + y1*(-y2) x1*y2 + y1*x2 -(y1*x2) + x1*(-y2) -(y1*y2) + x1*x2] Podemos ver que o produto A1 * A2 também está na forma [x y -y x], portanto, A é fechado em relação à multiplicação. 3. Existência do elemento identidade: Para mostrar que A possui um elemento identidade, devemos encontrar uma matriz I em A tal que para qualquer matriz A1 em A, temos A1 * I = I * A1 = A1. A matriz identidade I = [1 0 0 1] satisfaz essa condição, pois qualquer matriz A1 em A multiplicada por I resultará em A1. Portanto, comprovamos que A é um subanel do anel usual M2(R) das matrizes quadradas reais de ordem 2.