Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos 2. Dado que 0 = 0 ·m, el número cero es múltiplo de m, lo cual implica que (m) 6= ∅. Si a, b ∈ (m), entonces a = r...

Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos
2. Dado que 0 = 0 ·m, el número cero es múltiplo de m, lo cual implica que
(m) 6= ∅. Si a, b ∈ (m), entonces a = rm y b = sm para ciertos enteros r y
s. Entonces,
a− b = (r − s)m, ab = (rsm)m.
Como r − s y rsm son enteros, a − b y ab son múltiplos de m, es decir
a− b ∈ (m) y ab ∈ (m), lo cual demuestra que (m) es un subanillo de Z.
3. Claramente, B 6= ∅ y B ⊂ R. Para todo a + b
√
2, c + d
√
2 elementos de
B :
(a+ b
√
2)− (c+ d
√
2) = (a− c) + (b− d)
√
2.
(a+ b
√
2)(c+ d
√
2) = ac+ 2bd+ (ad+ bc)
√
2.
Dado que la suma, resta y producto de enteros es entero, la diferencia y pro-
ducto de elementos de B, pertenece a B. Concluimos que B es un subanillo
del anillo R.
4. Para x = y = 0, obtenemos la matriz nula de M2(R), y por tanto A es
distinto del vaćıo. Consideremos dos matrices genéricas de A :
M =
[
x y
−y x
]
, N =
[
x′ y′
−y′ x′
]
.
Calculemos M −N y MN :
M −N =
[
x− x′ y − y′
−(y − y′) x− x′
]
.
MN =
[
xx′ − yy′ xy′ + yx′
−(xy′ + yx′) xx′ − yy′
]
.
Claramente, M +N y MN son matrices de A. Concluimos que A es subani-
llo de M2(R).
5. Recordamos que una sucesión x = (xn) de números reales está acotada
si y sólo si, existe M > 0 tal que |xn| ≤ M para todo n. Veamos que
efectivamente B es subanillo de S.
(i) La sucesión nula 0 = (0) está acotada, por tanto 0 ∈ B.
(ii) Si x = (xn), y = (yn) son elementos de B, son sucesiones acotadas, es
decir:
∃M > 0 : |xn| ≤M ∀n,
∃K > 0 : |yn| ≤ K ∀n,
entonces |xn − yn| = |xn + (−yn)| ≤ |xn|+ |−yn| = |xn|+ |yn| ≤ M +K lo
cual implica que x− y está acotada, por tanto x− y ∈ B.