EQUAÇÕES ALGEBRICAS - PARTE 1

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
CAPÍTULO 1 – O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
REAIS E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS: COMO 
ESTES CONCEITOS SÃO USADOS NO ENSINO 
SUPERIOR?
Thuysa Schlichting de Souza
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Introdução
Você já reparou na quantidade de situações cotidianas que fazem uso dos números e suas operações? Podemos
destacar, por exemplo, aquelas que envolvem a quantidade de objetos, o preço de produtos e as unidades de
tempo e medida. Dessa forma, podemos reconhecer que a vida cotidiana está estritamente ligada a esses
conhecimentos.
No mundo em que vivemos, a Matemática é essencial para que possamos compreender situações recorrentes do
dia a dia, mas, também, outras recorrentes de diversas áreas do conhecimento que a utilizam enquanto
linguagem.
Os números, suas operações e propriedades viabilizam a formulação de expressões algébricas, que, por
conseguinte, nos permitem a realização de cálculos para modelar problemas reais. Além disso, trata-se de um
conhecimento imprescindível para o desenvolvimento da própria Matemática, pois os números e suas
propriedades são como ferramentas básicas com as quais se constroem conceitos mais sofisticados.
De modo geral, costuma-se categorizar os números em conjuntos, mas o que, de fato, significa um conjunto?
Podemos conceituá-lo usando a ideia intuitiva de objetos situados coletivamente, ou seja, como uma coleção de
objetos não ordenados e sem repetição. Os conjuntos cujos objetos (ou elementos) são apenas números recebem
o nome de .conjuntos numéricos
Dessa forma, neste primeiro capítulo, estudaremos o conjunto dos números reais. Realizaremos uma revisão das
operações numéricas elementares nesse conjunto e das propriedades de potenciação e radiciação. Assim,
teremos desenvolvidas as ferramentas básicas que nos permitem compreender melhor o conceito de expressões
algébricas e polinômios.
Ao final dos nossos estudos, poderemos responder algumas questões relacionadas ao assunto: “O que caracteriza
um polinômio?”, “O que difere um polinômio de outras expressões algébricas?” e “Quando e como podemos usar
as expressões algébricas em situações da vida real?”.
Vamos em frente!
1.1 Conjuntos dos reais: conceitos e propriedades
Os números podem ser classificados em conjuntos numéricos de acordo com suas características em comum.
Especificamente, estamos interessados em estudar o conjunto formado pelos números reais, porém, devemos
compreender que a formulação desse conjunto, com suas propriedades e operações, necessitou de um longo
período de explorações e pesquisas realizadas por estudiosos para chegar ao que conhecemos hoje.
Aliás, você sabia que os primeiros números foram criados devido à necessidade humana de contagem?
Atualmente, os números constituem o conjunto dos , que é representado, simbolicamente, pela forma: naturais
. Contudo, com o desenvolvimento do conhecimento matemático, houve a necessidade da criação
de novos conceitos, uma vez que os naturais se tornaram insuficientes para a realização de muitas operações
numéricas. Por exemplo, em um determinado momento histórico, não era possível efetuar a subtração entre dois
números naturais quaisquer. Assim, formalizou-se o conjunto dos , que, hoje, é representadonúmeros inteiros
pela notação: .
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Seguindo essa mesma dinâmica, com a necessidade de se resolver operações e problemas mais elaborados, foi
essencial o desenvolvimento dos conceitos de números e . Os primeiros formam oracionais irracionais
conjunto de números que podem ser expressados por uma razão entre dois números inteiros. Isto é, em
linguagem matemática, . Por via de regra, é chamado de e de numerador
 da fração.denominador
Vejamos alguns exemplos de números racionais:
• Números decimais com uma quantidade finita de algarismos após a vírgula: ; ; ; 
; ; .
• Números decimais com repetição infinita de algarismos após a vírgula (dízimas periódicas): 
; ; ; .
Você consegue notar alguma relação entre o conjunto dos números naturais, inteiros e racionais?
Podemos observar que todo número natural é, também, elemento do conjunto dos inteiros, porém, a recíproca
não é válida, ou seja, nem todo número inteiro pertence ao conjunto dos números naturais. Além disso, todo
elemento do conjunto dos inteiros é, também, elemento dos racionais, mas nem todo número racional pertence
ao conjunto dos números inteiros. Sendo assim, dizemos que o conjunto dos naturais é um subconjunto dos
inteiros e, ainda, que o conjunto dos inteiros é um subconjunto dos racionais. Em notação matemática, 
 (lê-se: está contido). Como resultado, todos os números naturais e inteiros também admitem uma
representação na forma fracionária. Observe os exemplos a seguir:
Além desses, sabemos que existem números cuja representação decimal apresenta infinitas casas não periódicas
após a vírgula, como em Esses números não podem ser representados na forma
racional e, portanto, constituem o conjunto dos . Alguns exemplos conhecidos são:irracionais
VOCÊ SABIA?
Existe uma notação própria quando nos referimos aos conjuntos. Eles são, geralmente,
representados por letras maiúsculas, já seus elementos são indicados por letras minúsculas.
Além disso, convencionou-se usar o símbolo para caracterizar a pertinência de um elemento
a um conjunto. Se for um conjunto, por exemplo, escrever significa que é um elemento
de (lê-se: pertence ao conjunto ); e significa que não é um elemento de .
Considerando, então, , podemos afirmar que , mas (STEWART,
2013).
•
•
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Cabe destacar que a notação mais usual do conjunto dos irracionais é . Todavia, também é possível verificarmos
na literatura a ocorrência da notação , que evidencia o fato de o conjunto dos irracionais ser complementar aos
racionais em relação aos reais.
Por fim, existe um conjunto numérico mais abrangente do que os descritos anteriormente: o conjunto dos
. Seus elementos são todos os números decimais — decimais exatos, periódicos e não periódicosnúmeros reais
—, e sua notação usual é . Portanto, o conjunto dos naturais, inteiros, racionais e irracionais são subconjuntos
dos reais. Podemos visualizar melhor essa relação no diagrama a seguir.
Figura 1 - Representação do conjunto dos reais.
VOCÊ O CONHECE?
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi um matemático alemão que contribuiu para diversas
áreas da Matemática e das Ciências, principalmente a Astronomia. Em 1801, publicou o livro
“Investigações em Aritmética”, que impulsou a teoria dos números para um lugar de destaque
na Matemática. Nesse trabalho, Gauss evidenciou as novidades do seu próprio estudo, além de
firmar os fundamentos da teoria dos números e sistematizar as ideias de seus predecessores.
Apesar de tratar de um tema especializado, seu livro é considerado um marco no
desenvolvimento da moderna abordagem à totalidade da Matemática (STEWART, 2014).
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Figura 1 - Representação do conjunto dos reais.
Fonte: Elaborado pela autora, baseado em ADAMI, DORNELLES FILHO e LORANDI, 2015.
De acordo com Stewart (2013), é possível representar os números reais como pontos sobre uma reta, mas como
devemos proceder para essa representação?
Primeiro, precisamos definir que a direção positiva, à direita, será sempre indicada por uma flecha. Depois, por
convenção, instituímos nosso ponto de referência , denominado , que corresponde ao número real 0.origem
Assim, cada número positivo é indicado pelo ponto da reta que está a unidades de distância, à direita da
origem. Analogamente, cada número negativo é dado pelo ponto sobre a reta que está a unidades de
distância, à esquerda da origem. Observe a figura a seguir.
Figura 2 - Representação geométrica dos números reais na reta coordenada ou real.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que a reta real é ordenada, isto é, os números reais ocupam a reta numérica, de modo que um número real
genérico é menor do que qualquer número situado à direita, e maior do que qualquer número localizado à
esquerda.
Por exemplo, podemos verificar as seguintes desigualdades:
Fica, então, o questionamento: será que todosos números conhecidos podem ser representados na reta real?
Sabemos que uma raiz da forma (com ) será sempre um número real, desde que o radicando a seja um
número real não negativo, como . Podemos afirmar, ainda, que sempre
representam números reais aquelas raízes cujo índice é um número ímpar, como e 
. Porém, se o radicando é um número negativo e o índice da raiz é par, o radical não
representa um elemento do conjunto dos reais. É o caso das raízes . Portanto, podemos dizer que
existem números que não podem ser representados na reta real.
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Na sequência, vamos estudar com mais detalhes as operações básicas e as propriedades elementares do
conjunto dos números reais. Assim, conseguiremos entender as ferramentas fundamentais para trabalharmos,
posteriormente, com as expressões algébricas e os polinômios.
1.1.1 Operações básicas no conjunto dos reais
Um conjunto numérico é caracterizado por seus elementos e pelas operações que podemos efetuar com eles. No
caso do conjunto dos números reais, são definidas duas operações primárias: a adição e a multiplicação. A 
é representada pelo símbolo “ ” e indica que, a cada par de números , , é associado um número realadição 
dado pela soma . Já a é representada pelo símbolo “∙” e, a cada par da mesma forma, associamultiplicação 
seu produto .
As duas operações possuem propriedades elementares, as quais viabilizam a simplificação de cálculos em muitas
situações e problemas práticos. Se considerarmos , , , podemos elencar as seguintes propriedades da
adição:
Tabela 1 - As propriedades elementares da adição no conjunto dos números reais.
Fonte: Elaborado pela autora, baseado em DEMANA et al., 2013.
Da mesma forma, considerando , , , temos as seguintes propriedades da multiplicação dos números reais:
VOCÊ SABIA?
Os números que não pertencem ao conjunto dos reais são denominados de números
, sendo descritos pela expressão , em que os coeficientes e sãocomplexos
números reais, e representa o número imaginário . Atualmente, os números complexos
são largamente utilizados nos estudos de Física e Engenharia. Uma aplicação importante é no
estudo de oscilações (movimentos que se repetem periodicamente) e, mais especificamente,
no cálculo do tremor de prédios em um terremoto, das vibrações em carros e da transmissão
da corrente elétrica alternada (STEWART, 2014).
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Tabela 2 - As propriedades elementares da multiplicação no conjunto dos números reais.
Você pode se perguntar o porquê de considerarmos apenas a adição e a multiplicação como operações básicas
dos números reais, mesmo utilizando a subtração e a divisão de modo recorrente, não é? Na verdade, podemos
defini-las fazendo uso dos próprios termos da soma e da multiplicação. Portanto, a cada par de números , ,
temos:
• Subtração: 
• Divisão: 
Podemos verificar que é o elemento oposto de , e que é seu elemento inverso. Sendo assim, é possível
afirmar que subtrair é , e que dividir é .somar o oposto multiplicar pelo inverso
Agora que já entendemos os conceitos, vamos passar para as demais propriedades dos números reais, as quais
podem ser demonstradas a partir das definições e propriedades elementares anteriores. Para possibilitar um
melhor entendimento, vejamos as propriedades juntamente à alguns exemplos na tabela a seguir.
Tabela 3 - Exemplos ajudam a visualizar as propriedades da inversa aditiva dos reais.
Fonte: Elaborado pela autora, baseado em DEMANA et al., 2013.
Nos exemplos da tabela anterior, utilizamos, essencialmente, números inteiros. Para realizarmos as mesmas
operações básicas e utilizarmos suas propriedades com números reais fracionários (ou racionais), precisamos
•
•
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definir a soma e a multiplicação para as frações. Assim, considerando dois números racionais e , com , , , 
, e ; vamos definir:
• Adição: 
• Multiplicação: 
Agora, para definirmos a subtração e a divisão, vamos utilizar novamente a ideia de somar o oposto e multiplicar
pelo inverso, sendo, respectivamente:
• Subtração: 
• Divisão: 
Vejamos um exemplo que viabiliza uma melhor compreensão dessas operações quando lidamos com números
na forma de fração:
Observe que, quando os denominadores das frações são iguais, podemos apenas somar seus numeradores e
considerar o mesmo denominador.
A seguir, temos outro exemplo:
Note que o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos denominadores 6 e 8 é 24, assim, uma segunda maneira de
realizarmos a soma seria escrever as frações na forma equivalente com denominador 24, da seguinte forma: 
.
Na sequência temos mais alguns exemplos para que possamos fixar nossos estudos com números na forma de
fração:
É importante que saibamos operar com as frações, pois as utilizamos em muitas situações cotidianas. Por
exemplo, uma fração decimal importante em operações econômicas e financeiras é aquela cujo denominador é
100. De modo geral, frações desse tipo são identificadas pela notação % no lugar da divisão, sendo chamadas de 
, como podemos verificar nos exemplos a seguir:porcentagem
•
•
•
•
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Agora que você teve a oportunidade de relembrar as operações elementares e suas propriedades principais no
conjunto dos números reais, vamos estudar outras duas operações importantes que podemos realizar dentro do
mesmo conjunto: a potenciação e a radiciação.
1.2 Radiciação e potenciação
Existem áreas do conhecimento que exigem a manipulação de dados e números escritos de forma muito extensa,
isto é, com grande quantidade de algarismos. Por exemplo, quando precisamos operar com a massa do Planeta
Terra, temos que utilizar um número na casa dos sextilhões, mais precisamente são 
 de toneladas. Você já imaginou realizar operações de multiplicação com vários
números dessa grandeza? Será que não existe um modo de simplificar essa manipulação?
Via de regra, quando trabalhamos com números que apresentam muitos algarismos, utilizamos sua escrita
através do uso de . Trata-se de uma notação que permite escrever qualquer número na forma notação científica
decimal utilizando poucos algarismos. Para isso, é necessário transformar o número em questão na forma: ,
em que é a mantissa e e .
Retomando o exemplo da massa da Terra, observe que é obtido quando
realizamos a multiplicação do número 5,972 por 24 fatores do número 10. Sendo assim, podemos reescrevê-lo
em notação científica como , sendo que é chamado de potência de base 10 e expoente 24, o qual
indica que podemos obter o número original da massa da Terra em toneladas, ao “movermos” a vírgula do
número decimal 24 casas para a direita.
Observe, ainda, que a notação de potência é utilizada para reduzir a quantidade de fatores repetidos em uma
multiplicação. Portanto, seja um número real e um número inteiro positivo, denomina-se potência de base 
e o número da forma vista na figura a seguir.expoente 
VOCÊ QUER LER?
O artigo “O editor e a média”, de Luiz Márcio Imenes, apresenta quatro situações diferentes
que fazem uso da porcentagem na resolução do problema em questão Destacamos a intitulada.
“Como dar descontos”, que discute a aplicação de porcentagens sucessivas no preço de um
determinado produto. Para ler o artigo completo, acesse através do : <link http://portal.mec.
>. Vale a pena conferir!gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap1.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap1.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap1.pdf
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Figura 3 - Termos de uma potência de base a e expoente n.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Dessa definição, decorre que:
Vale ressaltar que, no caso de o expoente ser igual a zero, assumiremos que a potência será 1 para qualquer
valor da base, exceto a base com valor nulo. Isto é, para e . Por exemplo, e .
Observe, também, que a base deve ser diferente de zero, pois não tem um valor definido, visto que é uma
indeterminação.
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A definição de potência ocasiona algumas propriedades. Para tal, considere que e sejam dois números reais,
com e , e que e sejam números inteiros.
Veja a tabela a seguirpara entender melhor.
Tabela 4 - Propriedades fundamentais da potenciação.
Fonte: Elaborado pela autora, baseado em DEMANA et al., 2013.
A demonstração matemática de cada propriedade é realizada utilizando um processo denominado de .indução
Porém, podemos perceber de modo intuitivo, a verificação retratada na figura a seguir.
VOCÊ QUER LER?
O artigo “Conceitos e Controvérsias”, escrito pelo importante matemático brasileiro Elon Lages
Lima, apresenta opiniões e esclarecimentos sobre pontos controvertidos e dúvidas da área da
Matemática. O autor divide o texto em quatro perguntas: “Zero é um número natural?”, “Por
que ?”, “Qual é o valor de ?” e “Qual é a diferença entre círculo e circunferência?”.
As três primeiras questões estão estritamente relacionadas ao assunto deste capítulo. O texto
está disponível nas páginas 75 a 79 no : <site http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf
>./EnsMed/expensmat_icap2.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap2.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap2.pdf
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Figura 4 - Verificação da propriedade “multiplicação de potência de mesma base”.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018
Agora, vamos utilizar as propriedades apresentadas anteriormente para resolver as expressões a seguir. Lembre-
se de que as operações de multiplicação e divisão têm prioridade em relação às operações de adição e de
subtração.
Na última expressão, usamos o inverso de , pois realizamos a seguinte operação: . Em
seguida, elevamos o numerador e o denominador ao quadrado. Assim, sempre que um número fracionário for
elevado à um número inteiro negativo , podemos usar a propriedade , com e .
Agora, vamos retornar ao exemplo da notação científica para analisarmos como podemos exprimir números
muito pequenos recorrendo à notação científica. Para isso, tomemos como exemplo o valor da massa da
molécula do oxigênio, que, segundo Demana et al. (2013), vale cerca de .
Como podemos representar esse número usando a multiplicação do número 5,3 por uma potência de base 10?
Observe que, se dividirmos 23 vezes o número 5,3 por 10, retornamos ao valor da massa original de oxigênio.
Em termos matemáticos: . Aplicando as propriedades da potenciação,
obtemos . Portanto, podemos inferir que o expoente negativo indica a quantidade de
casas que deve ser movida para a esquerda para se obter o número original.
Veja outros exemplos de transformação de números para a notação científica:
Até o momento, aprendemos como manipular expressões numéricas exponenciais que apresentam expoentes
inteiros. Contudo, números racionais também podem assumir o papel de expoentes de uma potência. Então,
como podemos determinar uma potência do tipo ou ?
Antes de respondermos à pergunta, precisamos definir a operação de radiciação e determinar suas propriedades
básicas.
Seja um número real e n um número natural maior do que 1, denominamos de o númeroraiz enésima de 
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Seja um número real e n um número natural maior do que 1, denominamos de o númeroraiz enésima de 
real , tal que . Em linguagem matemática, escrevemos .
Convencionou-se chamar de e de . Portanto, podemos verificar as seguintes igualdades, porradicando índice
exemplo:
• , pois ;
• , pois ;
• , pois ;
• , pois ;
• não existe no conjunto dos reais, pois não existe um número real cuja quarta potência resulte em 
um número negativo.
Cabe destacar que, quando o índice é igual a 2, costuma-se omiti-lo na representação da raiz. Isso significa que
as representações e são equivalentes. Além disso, se , dizemos que é a raiz quadrada de .
Os radicais também apresentam suas propriedades fundamentais. Considerando e dois números reais com 
, e números inteiros maiores do que 1, bem como todas as raízes sendo números reais; temos as
propriedades da tabela a seguir.
Tabela 5 - Propriedades fundamentais da radiciação.
Fonte: Elaborado pela autora, baseado em DEMANA et al., 2013.
Podemos simplificar os seguintes radicais e expressões numéricas, utilizando as propriedades dos radicais
apresentadas na tabela anterior:
Agora que já definimos a radiciação e aprendemos suas propriedades fundamentais, podemos retornar à questão
das potências cujos expoentes são números racionais: como é possível determinar uma potência do tipo ou ?
Para que possamos calcular as potências com expoentes racionais, precisamos defini-las. Assim, seja um
•
•
•
•
•
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Para que possamos calcular as potências com expoentes racionais, precisamos defini-las. Assim, seja um
número real positivo, um número inteiro e um número inteiro maior ou igual a 1, temos que . Além
disso, define-se que quando . Logo, respondendo à questão anterior, e .
De acordo com Hoffman et al. (2015), convencionou-se que, no caso do expoente ser par, é tomado como
positivo, embora exista um número negativo cuja enésima potência é . Observe, por exemplo, que ,
porém, a raiz quarta de 16 é considerada como 2, ou seja, , e não .
Outros exemplos são:
Por fim, vale salientar que as seis propriedades já enunciadas para as potências de expoentes inteiros continuam
válidas no caso de expoentes racionais.
Você pôde perceber que as propriedades das operações básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão) da
potenciação e da radiciação facilitam a manipulação dos números reais, bem como a própria realização das
operações. Dessa maneira, podemos empregar esses conhecimentos em situações do cotidiano e em problemas
das diversas ciências, como para simplificar operações e melhorar a representação de um determinado número.
Além disso, vamos usá-los para resolver expressões algébricas, isto é, expressões que envolvem variáveis,
incógnitas, constantes e as próprias operações definidas no conjunto dos reais.
1.3 Polinômios
Você já percebeu que o uso de símbolos em Matemática ultrapassa a presença na notação numérica?
Frequentemente, utilizamos o raciocínio simbólico no contexto da resolução de problemas. Suponha, por
exemplo, que não conhecemos o valor de um determinado produto, mas sabemos que, se comprarmos um
segundo produto com um terço do seu preço, o valor total da compra será R$ 80,00. Para encontramos o preço
do produto em questão, podemos recorrer ao uso de números, símbolos e operações.
Observe que o preço desconhecido pode ser simbolizado por uma letra, que, usualmente, é a letra . Assim, é
possível usar as operações matemáticas para expressar as condições impostas a . Portanto, o problema pode ser
representado matematicamente pela equação . Se observarmos apenas o primeiro termo da equação 
, temos um exemplo de .expressão algébrica
As expressões algébricas são definidas como expressões matemáticas constituídas por letras ou números e
letras. Outros exemplos são: .
De acordo com as características principais, é possível estabelecer alguns tipos especiais de expressões
algébricas. Em nosso estudo, vamos destacar os devido à sua importância na resolução depolinômios 
problemas das diversas áreas do conhecimento.
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Portanto, definimos o polinômio de uma variável como a expressão algébrica escrita na forma retratada na
figura a seguir.
Figura 5 - Definição de polinômio e suas nomenclaturas principais.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sendo um número inteiro não negativo e os coeficientes números reais; dizemos que o grau do
polinômio é , e que seu termo principal é . Veja alguns exemplos:
• (Polinômio de grau 5 e termo principal -7);
• (Polinômio de grau 4 e termo principal 3);
• (Polinômio de grau 3 e termo principal 5);
• (Polinômio de grau 2 e termo principal 8);
• 28 (Polinômio de grau 0 e termo principal 28).
Segundo Hoffman et al. (2015), uma constante diferente de zero é considerada um polinômio de grau 0. Porém,
apesar do número 0 também ser considerado um polinômio, convencionou-se que ele não possui um grau
determinado.
Aliás, você reparou que, no penúltimo exemplo, está faltando o termo constante? Em , os coeficientes são: 
VOCÊ SABIA?
A Álgebra é um ramo da Matemática que utiliza letrase outros símbolos para representar os
números reais. Na Álgebra, denomina-se a letra ou o símbolo que representa umvariável
número real não específico, e a letra ou o símbolo que indica um número realconstante
específico (DEMANA et al., 2013). Em alguns casos, a palavra “incógnita” também pode ser
utilizada quando nos referimos a letras ou aos símbolos que representam números
desconhecidos, no entanto, elas indicam uma quantidade desconhecida, cujo valor pode ser
encontrado pelas condições de uma equação. Já as variáveis representam quantidades
indeterminadas com valor variável.
•
•
•
•
•
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Aliás, você reparou que, no penúltimo exemplo, está faltando o termo constante? Em , os coeficientes são: 
. Quando o polinômio não possui uma ou mais potências na variável , trata-se de um 
. Além disso, polinômios com um, dois e três termos possuem nomenclaturas especiais,polinômio incompleto
chamados , e , respectivamente.monômios binômios trinômios
Agora, vejamos como efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com os polinômios de
uma variável . Para tal, denominaremos de em dois polinômios da variável os termostermos semelhantes 
com o mesmo expoente na variável. Assim, no polinômio do quarto grau e no polinômio do terceiro
grau , são semelhantes os termos e , bem como e .
Para polinômios devemos agrupar seus termos semelhantes e realizar as operações apenas somar ou diminuir 
com os coeficientes, mantendo as variáveis iguais.
Acompanhe os exemplos:
Para dois polinômios, devemos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termomultiplicarmos 
do segundo. Você se recorda da propriedade distributiva dos números reais que estudamos no início do
capítulo? É justamente essa propriedade que devemos usar.
Observe os exemplos:
Os três últimos exemplos de produtos entre polinômios são bastante úteis para os nossos estudos, pois nos
ajudam a realizar multiplicações sem precisarmos efetuar a propriedade distributiva, o que simplifica a
operação. Dessa forma, sendo e números reais, variáveis ou monômios, podemos escrever as relações
representadas na tabela a seguir.
Tabela 6 - Principais produtos notáveis que auxiliam a fatoração de polinômios.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Finalmente, para um polinômio por um polinômio , devemos encontrar outros dois polinômios,dividirmos 
que serão um quociente e um resto , como podemos conferir no esquema a seguir.
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Figura 6 - Divisão de dois polinômios pelo método da chave.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
O resto será um polinômio, que terá o grau menor do que o grau do polinômio , ou zero. Quando o resto for
zero, teremos o polinômio como um produto de dois fatores, e . Veja como realizamos a divisão do
polinômio por , utilizando o método da chave:
Figura 7 - Divisão de dois polinômios na forma padrão pelo método da chave.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que a divisão segue o mesmo algoritmo da divisão dos números reais. Inicialmente, procuramos o termo
que, multiplicado por , resulta em . No caso, o termo satisfaz essa condição. Assim, ele é registrado no
espaço do quociente e, em seguida, é realizada a multiplicação de por todos os termos do polinômio divisor 
. O resultado da multiplicação é registrado abaixo do dividendo , mas com o sinal
de cada termo trocado. Depois, esse resultado é somado ao polinômio dividendo, obtendo-se . Para
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de cada termo trocado. Depois, esse resultado é somado ao polinômio dividendo, obtendo-se . Para
continuar a divisão, baixamos a constante –24 e realizamos todos os processos novamente, até que não seja mais
possível continuar a divisão. Como o resto da divisão foi zero, temos que 
.
Escrever um polinômio como um produto de dois ou mais fatores polinomiais é um processo denominado de 
. Quando um polinômio não pode ser mais fatorado utilizando coeficientes inteiros, dizemos que sefatoração
trata de um . Assim, um polinômio está fatorado completamente somente quando estiverpolinômio irredutível
escrito como um produto de fatores irredutíveis (DEMANA et al., 2013).
Agora, vamos analisar o polinômio , buscando representá-lo como uma multiplicação de dois fatores
polinomiais. À princípio, vamos escrever a potência como um produto de fatores , e a constante 36 como uma
multiplicação por 4. Dessa maneira, é possível perceber que existem fatores comuns entre os termos do
polinômio: . Colocando os fatores comuns em evidência, temos que 
. Podemos transformar em um produto de uma soma e de uma diferença, da forma 
. Portanto, chegamos ao resultado de .
Note que o polinômio é uma forma fatorada do polinômio , mas não se trata de um
polinômio irredutível, uma vez que pode ser fatorado novamente como um produto de uma soma e de uma
diferença de polinômios.
Em geral, iniciamos a fatoração de um polinômio observando se existem fatores em comum entre os termos
para, em seguida, colocá-los em evidência, como foi apresentado no exemplo anterior. Depois, utilizamos
algumas técnicas de fatoração, das quais destacamos as mais usuais:
:Fatoração por fator comum em evidência
:Fatoração pelo produto de uma soma e de uma diferença
Fatoração pelo quadrado da soma ou da diferença:
Fatoração por agrupamento:
Os polinômios apresentam muitas aplicações na própria matemática e em diversas áreas do conhecimento.
Podemos citar sua utilização na Economia, para análise de custos e lucros; na Física, para descrição da trajetória
de um projétil; na Engenharia, com cálculos de áreas; na Matemática, no estudo de funções; entre muitas outras
aplicações.
VOCÊ SABIA?
No caso especial de divisão de polinômios com o divisor na forma , sendo um número
real inteiro, podemos realizar a divisão utilizando um método mais curto, denominado de 
. Com ele, podemos trabalhar utilizando apenas os coeficientes dométodo de Briot Ruffini
polinômio, o que simplifica consideravelmente a divisão (DEMANA et al., 2013).
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Vamos, então, examinar um problema de cálculo de áreas e empregar os conceitos estudados até aqui.
Imagine que Manuel comprou um terreno formado por dois polígonos regulares: um quadrado de área A1 e um
retângulo de área A2. Ele deseja saber como pode calcular a área total do terreno sabendo que os lados do
quadrado têm medida , e que os lados do retângulo têm medidas e . Como podemos ajudá-lo a encontrar a
área?
Figura 8 - Terreno formado por um quadrado de lado x e por um retângulo de lados 2x e 1/2 x.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sabemos que as áreas do quadrado e do retângulo são encontradas quando multiplicamos o valor da base pelo
valor da altura. Logo, e . Realizando a soma das áreas, temos que a área total ( ) da
figura é . Portanto, Miguel pode calcular a área realizando as operações de potenciação e
multiplicação sobre a medida do lado do quadrado.
Agora, supondo que o lado do quadrado mede 8 metros, podemos calcular o valor numérico do polinômio que
representa a área do terreno. Para isso, devemos substituir o valor da variável pelo valor indicado e, em
seguida, realizar as operações dadas na expressão. Portanto, a área total da figura é .
A seguir, vamos analisar um caso prático fictício que exige a utilização de polinômios na solução do problema.
VOCÊ QUER VER?
O vídeo apresenta a história de Daniela, funcionária de uma empresa deEmbalagens
embalagens para velas que iniciou seu trabalho recentemente. Ela está com algumas dúvidas
quanto às tarefas que precisa executar, por isso, necessita de orientações para recortar folhas
de papelão para montar caixas de embalagem. Ao longo da história, o conceito de polinômio é
empregado para ajudá-la a solucionar sua dúvida. Veja o vídeo completo em: <https://www.
>.youtube.com/watch?time_continue=30&v=iOcdL33DOKs
https://www.youtube.com/watch?time_continue=30&v=iOcdL33DOKs
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Até aqui, aprendemos a operar com polinômios e utilizar suas propriedades no processo de fatoração. É
fundamental conhecermos as técnicas de fatoração,pois se trata de uma ferramenta importante para a
realização de simplificação de expressões algébricas, principalmente quando estamos lidando com uma 
, isto é, uma expressão que pode ser escrita como o quociente de dois polinômios. Naexpressão racional
sequência, vamos estudar mais detalhadamente a simplificação de e, maisexpressão algébricas fracionárias 
especificamente, expressões racionais.
1.4 Expressões algébricas fracionárias
Vimos que as expressões algébricas são expressões matemáticas constituídas de números e letras ou somente
letras. Existem expressões algébricas que são formadas pelo quociente de duas outras expressões. Nesse caso,
denominamos o quociente de . Alguns exemplos são , expressão algébrica fracionária
e . Observe que o último exemplo é, também, uma expressão racional, pois é formado pela razão de
dois polinômios: como numerador e como denominador da fração.
De acordo com Demana et al. (2013), algumas expressões algébricas fracionárias não podem ser determinadas
para alguns valores. Dessa forma, chamamos de os números reais para osdomínio da expressão algébrica
quais essa expressão é definida.
Vamos verificar o domínio das expressões dadas nos exemplos anteriores:
• : devemos lembrar que a divisão por zero não está definida no conjunto dos números 
reais, então, o denominador deve ser diferente de zero, ou seja, . Portanto, o domínio é todo o 
conjunto dos reais, com exceção de .
CASO
Sara fará uma festa de aniversário para seu pai. Ela ainda precisa comprar 20 balões, 50 copos
e 50 pratinhos plásticos. Sara sabe que o valor unitário do copo custa R$ 2,00 a mais do que o
valor unitário do balão. Já o preço unitário do prato custa R$ 3,00 a mais do que o valor de um
balão. Ela deseja, então, escrever um polinômio que expresse o valor total que gastará com a
compra desses objetos em função do valor do balão. Como podemos ajudá-la?
Podemos chamar o preço unitário do balão de . Assim, o valor na compra de 20 balões será 
. Como cada copo custa R$ 2,00 a mais do que cada balão, e ela deve comprar 50 copos, o valor
total com a compra dos copos será . Analogamente, o preço da compra
de 50 pratos será . Dessa forma, precisamos somar os três valores
obtidos para sabermos o polinômio que representa o valor total da compra. Assim, 
. Agora, basta que Sara tenha o valor unitário do
balão para saber quanto será o total de sua compra.
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• : o denominador ( ) deve ser diferente de zero. Além disso, o valor do radicando 
deve ser um número real não negativo, pois a raiz quadrada de um número negativo não está definida no 
conjunto dos reais. Logo, temos que , isto é, . Assim, domínio é o conjunto dos números reais 
maiores que –4.
• : o denominador deve ser diferente de zero, ou seja, , portanto, o domínio é todo o 
conjunto dos reais, com exceção de 2.
As expressões racionais, como a do último exemplo, nos interessam de forma especial, pois são aquelas com mais
aplicações nas diversas áreas do conhecimento. Sendo assim, a partir de agora, vamos aprofundar nosso estudo
sobre as expressões racionais, aplicando as propriedades e técnicas de fatoração estudadas anteriormente.
Comecemos analisando a seguinte expressão racional: .
Observe separadamente o numerador e o denominador da fração. Pense na questão: é possível fatorar esses
polinômios ou eles já estão em sua forma reduzida?
Note que o numerador da fração é o polinômio de grau 2 da forma ( ). Podemos verificar que esse
polinômio não pode ser fatorado utilizando a ideia de reverter os processos usuais envolvendo os produtos
notáveis, porém, podemos evidenciar o fator comum de ambos os termos, da seguinte maneira: 
. Já o denominador da fração é o polinômio , que também tem grau 2. Podemos perceber que ele pode ser
fatorado utilizando a fatoração pelo produto de uma soma e de uma diferença. Logo, temos que 
.
Agora, podemos reescrever a expressão racional substituindo o numerador e o denominador pelo polinômio
equivalente na forma reduzida. Dessa forma, poderemos eliminar os fatores comuns entre eles: 
, com e . A forma reduzida nos permite verificar que não pode
assumir o valor –2, caso contrário, teríamos uma divisão por zero. Porém, devemos incluir a condição , uma
vez que 2 também não está definida no domínio da expressão racional original. Portanto, o domínio da expressão
racional em questão é o conjunto dos números reais, com exceção de e .
Vamos utilizar um processo semelhante de simplificação para escrever as seguintes expressões racionais na
forma reduzida:
• , com e ;
• , com ;
• , com e ;
• , com e .
Cabe destacar que duas expressões racionais são consideradas equivalentes apenas se ambas tiverem o mesmo
domínio e os mesmos valores para todos os números reais no domínio. É por essa razão que adicionamos a
restrição da expressão original também para a forma reduzida da fração (DEMANA et al., 2013).
Lembre-se de que saber manipular as expressões algébricas fracionárias, bem como sua forma específica de
expressões racionais, é muito importante, visto que esses conhecimentos serão mobilizados para a realização de
equações e inequações algébricas. Podemos perceber, assim, que estamos construindo, gradativamente, o
conhecimento matemático que nos permitirá estudar conteúdos mais sofisticados.
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Síntese
Chegamos ao final do primeiro capítulo desta disciplina. Aqui, pudemos relembrar as principais características
do conjunto dos números reais, as operações básicas definidas nesse conjunto e suas propriedades
fundamentais. Além disso, aprendemos a identificar e operar com polinômios e expressões algébricas
fracionárias.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• relembrar conceitos matemáticos relativos aos conjuntos numéricos e suas operações elementares;
• reconhecer as diferentes formas de representação dos números racionais;
• aprender o conceito de potência e suas propriedades principais;
• aprender o conceito de raiz e suas propriedades principais;
• identificar e classificar polinômios;
• reconhecer e determinar o domínio de expressões algébricas fracionárias;
• analisar problemas práticos e procurar soluções utilizando o pensamento algébrico.
Bibliografia
ADAMIR, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. . Porto Alegre: Bookman, 2015.Pré-cálculo
DEMANA, F. et al. . São Paulo: Pearson, 2013.Pré-Cálculo
HOFFMAN, L. et al. : um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2015.Cálculo
IMENES, L. M. O editor e a média. In: BRASIL. Ministério da Educação. :Explorando o Ensino da Matemática
Números. Brasília: Secretaria de Educação Básica, 2004. p. 43-46. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb
>. Acesso em: 18/06/2018./arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap1.pdf
LIMA, E. L. Conceitos e controvérsias. In: BRASIL. Ministério da Educação. Explorando o Ensino da Matemática
: Números. Brasília: Secretaria de Educação Básica, 2004. p. 75-79. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb
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M3 MATEMÁTIMA Multimídia. . 19 mar. 2012. Disponível em: <Embalagens https://www.youtube.com/watch?
>. Acesso em: 18/06/2018.time_continue=30&v=iOcdL33DOKs
STEWART, J. . São Paulo: Cengage Learning, 2013. Vol. 1.Cálculo
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http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap1.pdf
https://www.youtube.com/watch?time_continue=30&v=iOcdL33DOKs
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	Introdução
	1.1 Conjuntos dos reais: conceitos e propriedades
	1.1.1 Operações básicas no conjunto dos reais
	1.2 Radiciação e potenciação
	1.3 Polinômios
	1.4 Expressões algébricas fracionárias
	Síntese
	Bibliografia