Analizar si es lineal la aplicación f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x + 1, x + 2y + 3z).

Para analisar se a aplicação f : R3 → R2 é linear, precisamos verificar se ela satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Propriedade de aditividade: Vamos considerar dois vetores (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) em R3. Aplicando a função f a esses vetores, temos: f(x1, y1, z1) = (x1 + 1, x1 + 2y1 + 3z1) f(x2, y2, z2) = (x2 + 1, x2 + 2y2 + 3z2) Agora, vamos somar esses dois resultados: f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = (x1 + 1, x1 + 2y1 + 3z1) + (x2 + 1, x2 + 2y2 + 3z2) = (x1 + x2 + 2, x1 + 2y1 + 3z1 + x2 + 2y2 + 3z2) Se a função f fosse linear, teríamos: f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) Comparando as duas expressões, podemos ver que elas não são iguais. Portanto, a função f não satisfaz a propriedade de aditividade e, consequentemente, não é linear. Dessa forma, podemos concluir que a aplicação f : R3 → R2 não é linear.