Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales Transponiendo coeficientes obtenemos: A = [T ]BB =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1  . 8. ...

Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales Transponiendo coeficientes obtenemos: A = [T ]BB =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1  . 8. a) Hallemos los transformados de los vectores de la base B, en función de B. f(1) = x · 0 + 2k · 0 = 0, f(x3) = x · (3x2) + 2k · (6x) = λ1 · 1 + λ2x3 + λ3(1 + x) + λ4(1− x2), f(1 + x) = x · 1 + 2k · 0 = µ1 · 1 + µ2x3 + µ3(1 + x) + µ4(1− x2), f(1− x2) = x · (−2x) + 2k · (−2) = γ1 · 1 + γ2x3 + γ3(1 + x) + γ4(1− x2). Identificando coeficientes y resolviendo: λ1 = −12k, λ2 = 3, λ3 = 12k, λ4 = 0, µ1 = −1, µ2 = 0, µ3 = 1, µ4 = 0, γ1 = −4k − 2, γ2 = 0, γ3 = 0, γ4 = 2. Transponiendo coeficiente obtenemos la matriz A pedida: A =  0 −12k −1 −4k − 2 0 3 0 0 0 12k 1 0 0 0 0 2  . b) |A| 6= 0 pues A tiene una linea formada por ceros. Por otra parte,∣∣∣∣∣∣ 3 0 0 12k 1 0 0 0 2 ∣∣∣∣∣∣ = 6 6= 0, luego rgA = 3 para todo k ∈ R. Entonces, dim(ker f) = 4 − rgA = 1 para todo k ∈ R. Es decir, no existen valores de k para los cuales dim(ker f) > 1.