Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales y transponiendo coeficientes: A = −1 1 0 00 0 2 0 0 0 0 3  . El rango de la matriz A es 3, por tanto busca...

Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales y transponiendo coeficientes: A =
−1 1 0 00 0 2 0
0 0 0 3
 . El rango de la matriz A es 3, por tanto buscamos bases C = {u1, u2, u3, u4} y C ′ = {v1, v2, v3} de R3[x] y R2[x] respectivamente tales que la matriz de f en estas bases sea: 1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
 = [I3 0] , es decir las bases buscadas han de verificar f(u1) = v1 f(u2) = v2 f(u3) = v3 f(u4) = 0. El vector u4 ha de pertenecer al núcleo de f. Hallamos una base del mismo, y obtenemos u4 = (1, 1, 0, 0) t (en coordenadas en B). Los vectores v1, v2, v3 han de pertenecer a la imagen de f . Hallando una base de esta, obtene- mos v1 = (1, 0, 0) t, v2 = (0, 2, 0) t, v3 = (0, 0, 3) t (en coordenadas en B′) e inmediatamente u1 = (0, 1, 0, 0) t, u2 = (0, 0, 1, 0) t, u3 = (0, 0, 0, 1) t (en coordenadas en B). Por tanto, unas bases de R3[x] y R2[x] para que la matriz asociada a f es de la forma [ Ir 0 0 0 ] son C = { (0, 1, 0, 0)t, (0, 0, 1, 0)t, (0, 0, 0, 1)t, (1, 1, 0, 0)t } , C ′ = { (1, 0, 0)t, (0, 2, 0)t, (0, 0, 3)t } . en coordenadas en B y B′ respectivamente. Es decir, son C = { x, x2, x3, 1 + x } , C ′ = { 1, 2x, 3x2 } . Verifiquemos el resultado, f(x) = −0 + 1 = 1 = 1 + 0 · (2x) + 0 · (3x2) f(x2) = −0 + 2x = 2x = 0 + 1 · (2x) + 0 · (3x2) f(x3) = −0 + 3x2 = 3x2 = 0 + 0 · (2x) + 1 · (3x2) f(1 + x) = −1 + 1 = 0 = 0 + 0 · (2x) + 0 · (3x2)