Sean E,F,G tres espacios vectoriales sobre el cuerpo K y sean f : E → F, g : F → G dos aplicaciones lineales. Demostrar que la composición g ◦ f :...

Para demonstrar que a composição g ◦ f : E → G é uma aplicação linear, precisamos mostrar que ela preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Seja u, v ∈ E e α ∈ K. Primeiro, vamos mostrar que g ◦ f preserva a adição vetorial: (g ◦ f)(u + v) = g(f(u + v)) (por definição de composição) = g(f(u) + f(v)) (porque f é uma aplicação linear) = g(f(u)) + g(f(v)) (porque g é uma aplicação linear) = (g ◦ f)(u) + (g ◦ f)(v) (por definição de composição) Agora, vamos mostrar que g ◦ f preserva a multiplicação por escalar: (g ◦ f)(αu) = g(f(αu)) (por definição de composição) = g(αf(u)) (porque f é uma aplicação linear) = αg(f(u)) (porque g é uma aplicação linear) = α(g ◦ f)(u) (por definição de composição) Portanto, g ◦ f preserva tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, o que significa que é uma aplicação linear.