2. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K, E∗ y F ∗ sus duales respectivos y f : E → F una aplicación lineal. Demostrar que la apli...

Para demonstrar que a aplicação transposta de f, denotada por fT, é uma aplicação linear, precisamos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. 1. Aditividade: Sejam y∗, z∗ ∈ F∗. Queremos mostrar que fT(y∗ + z∗) = fT(y∗) + fT(z∗). Para qualquer x ∈ E, temos: fT(y∗ + z∗)(x) = (y∗ + z∗) ◦ f(x) [definição de fT] = y∗(f(x)) + z∗(f(x)) [propriedade de linearidade de F∗] = fT(y∗)(x) + fT(z∗)(x) [definição de fT] Portanto, fT(y∗ + z∗) = fT(y∗) + fT(z∗), o que mostra a aditividade de fT. 2. Homogeneidade: Seja α ∈ K e y∗ ∈ F∗. Queremos mostrar que fT(αy∗) = αfT(y∗). Para qualquer x ∈ E, temos: fT(αy∗)(x) = (αy∗) ◦ f(x) [definição de fT] = α(y∗ ◦ f(x)) [propriedade de linearidade de F∗] = αfT(y∗)(x) [definição de fT] Portanto, fT(αy∗) = αfT(y∗), o que mostra a homogeneidade de fT. Assim, concluímos que a aplicação transposta de f, fT: F∗ → E∗, é uma aplicação linear.