2. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K y sean f1 : E → K, f2 : F → K aplicaciones lineales. Demostrar que la aplicación: f : E × ...

Para demonstrar que a aplicação f : E × F → K, f(x, y) = f1(x) f2(y) é uma forma bilinear, precisamos verificar duas propriedades: a aditividade e a homogeneidade. 1. Aditividade: Para mostrar que f é aditiva em relação à primeira coordenada, devemos provar que f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y) para todo x1, x2 em E e y em F. Podemos escrever f(x1 + x2, y) como f1(x1 + x2) f2(y). Pela propriedade de aditividade de f1, temos f1(x1 + x2) = f1(x1) + f1(x2). Substituindo na expressão, temos: f(x1 + x2, y) = (f1(x1) + f1(x2)) f2(y) = f1(x1) f2(y) + f1(x2) f2(y) = f(x1, y) + f(x2, y) Portanto, f é aditiva em relação à primeira coordenada. Da mesma forma, podemos mostrar que f é aditiva em relação à segunda coordenada. 2. Homogeneidade: Para mostrar que f é homogênea em relação à primeira coordenada, devemos provar que f(kx, y) = kf(x, y) para todo k em K, x em E e y em F. Podemos escrever f(kx, y) como f1(kx) f2(y). Pela propriedade de homogeneidade de f1, temos f1(kx) = kf1(x). Substituindo na expressão, temos: f(kx, y) = kf1(x) f2(y) = kf(x, y) Portanto, f é homogênea em relação à primeira coordenada. Da mesma forma, podemos mostrar que f é homogênea em relação à segunda coordenada. Assim, demonstramos que a aplicação f : E × F → K, f(x, y) = f1(x) f2(y) é uma forma bilinear.