2. Sea E un espacio vectorial real y f : E → E el endomorfismo cuya matriz en una determinada base B = {u1, u2} es A = [ 5 −1 1 3 ]. (a) Estudiar s...

Para determinar se o endomorfismo f é diagonalizável, precisamos verificar se existem autovetores suficientes para formar uma base de E. Primeiro, encontramos os autovalores de f. Para isso, resolvemos a equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz dada e λ é o autovalor desconhecido. Calculando o determinante, temos: | 5-λ -1 | | 1 3-λ | = (5-λ)(3-λ) - (-1)(1) = λ² - 8λ + 16 = (λ-4)² = 0 Portanto, o autovalor é λ = 4, com multiplicidade 2. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a esse autovalor. Para isso, resolvemos o sistema de equações (A - λI)v = 0, onde v é o autovetor desconhecido. Substituindo λ = 4 na matriz A - λI e resolvendo o sistema, obtemos: | 5-4 -1 | | 1 3-4 | v = 0 | 1 -1 | v = 0 Simplificando, temos: | 1 -1 | v = 0 A partir dessa equação, podemos escolher um valor arbitrário para uma das variáveis (por exemplo, v2 = 1) e encontrar o valor correspondente para a outra variável (v1 = 1). Portanto, um autovetor correspondente ao autovalor 4 é v = (1, 1). Como encontramos um autovetor, podemos afirmar que o endomorfismo f é diagonalizável. Para encontrar uma base de E formada por autovetores de f, podemos utilizar o autovetor encontrado anteriormente, v = (1, 1). A matriz diagonal D é formada pelos autovalores correspondentes, que no nosso caso é apenas o valor 4. A matriz inversível P é formada pelos autovetores como colunas, ou seja, P = [v1 v2], onde v1 é o autovetor encontrado e v2 é outro autovetor linearmente independente (que pode ser escolhido de forma arbitrária, desde que não seja múltiplo do autovetor anterior). Portanto, uma possível base de E formada por autovetores de f é B = {(1, 1), (1, 0)}. E a matriz P inversível é P = [(1, 1), (1, 0)]. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.