1. Usando el método de Gauss, diagonalizar la forma cuadrática q : R3 → R dada por q(x1, x2, x3) = x2 1 − x22 + 7x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 8x2x3.

Para diagonalizar a forma quadrática q(x1, x2, x3) = x1^2 - x2^2 + 7x3^2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 8x2x3 usando o método de Gauss, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Escreva a matriz associada à forma quadrática: Q = |1 1 4| |1 -1 8| |0 0 7| 2. Encontre os autovalores da matriz Q resolvendo a equação característica: |1-λ 1 4| |0| |1 -1-λ 8| = |0| |0 0 7-λ| |0| Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 9, λ2 = 4 e λ3 = 7. 3. Encontre os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados: Para λ1 = 9: |1-9 1 4| |x1| |1 -1-9 8| = |x2| |0 0 7-9| |x3| Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor v1 = (1, -1, 0). Para λ2 = 4: |1-4 1 4| |x1| |1 -1-4 8| = |x2| |0 0 7-4| |x3| Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor v2 = (2, 0, 1). Para λ3 = 7: |1-7 1 4| |x1| |1 -1-7 8| = |x2| |0 0 7-7| |x3| Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor v3 = (1, -1, 1). 4. Normalize os autovetores encontrados: Normalizando v1, obtemos o vetor u1 = (1/√2, -1/√2, 0). Normalizando v2, obtemos o vetor u2 = (2/√5, 0, 1/√5). Normalizando v3, obtemos o vetor u3 = (1/√3, -1/√3, 1/√3). 5. Construa a matriz de transformação P usando os autovetores normalizados como colunas: P = |1/√2 2/√5 1/√3| |-1/√2 0 -1/√3| |0 1/√5 1/√3| 6. Calcule a matriz diagonal D usando os autovalores como elementos diagonais: D = |9 0 0| |0 4 0| |0 0 7| 7. A matriz diagonalizada da forma quadrática q é dada por: q(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3) * P * D * P^T Portanto, a forma quadrática diagonalizada é: q(x1, x2, x3) = 9(u1)^2 + 4(u2)^2 + 7(u3)^2 onde u1, u2 e u3 são os autovetores normalizados encontrados.