5. Sea E espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión finita, y {e1, . . . , er} una ba- se ortonormal de F. Demostrar que para todo x ∈ E la proyecci...

5. Sea E espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión finita, y {e1, . . . , er} una ba- se ortonormal de F. Demostrar que para todo x ∈ E la proyección ortogonal de x a F es pF (x) = 〈x, e1〉 e1 + · · ·+ 〈x, er〉 er.

Solución. 1. Hallemos F⊥. Para que un vector (x1, x2, x3) sea ortogonal a todos los de F, basta que sea ortogonal a los de una base de F. Una base de F es BF = {(1,−1, 0), (−2, 0, 1)}, por tanto F⊥ ≡ { 〈(x1, x2, x3), (1,−1, 0)〉 = 0 〈(x1, x2, x3), (−2, 0, 1)〉 = 0 ≡ { x1 − 2x2 = 0 −2x1 + 3x3 = 0, y una base de F⊥ es BF⊥ = {(6, 3, 4)}. Como R3 = F ⊕ F⊥, una base de R3 es B = BF ∪BF⊥ . Expresemos x = (1, 1, 1) como combinación lineal de los vectores de B : (1, 1, 1) = [α1(1,−1, 0) + α2(−2, 0, 1)] + α3(6, 3, 4). (1) Resolviendo obtenemos α1 = −5/17, α2 = 1/17 y α3 = 4/17. La proyección ortogonal de x sobre F es por tanto el sumando de (1) que pertenece a F, es decir pF (x) = − 5/17 (1,−1, 0) + 1/17 (−2, 0, 1) = 1/17 (−7, 5, 1).
2. Hallemos F⊥. Una base de F es BF = {1, x}. Un vector a+ bx+ cx2 de R2[x] pertenece a F⊥ śı, y sólo si,{ 〈 a+ bx+ cx2, 1 〉 = ∫ 1 0 (a+ bx+ cx 2) dx = 0〈 a+ bx+ cx2, x 〉 = ∫ 1 0 (ax+ bx 2 + cx3) dx = 0. Integrando obtenemos F⊥ ≡ { a+ b2 + c 3 = 0 a 2 + b 3 + c 4 = 0 Y una base de F⊥ (en coordenadas en la base canónica de R2[x]) es {(1,−6, 6)} por tanto F⊥ = L[1− 6x+ 6x2]. Como R3 = F ⊕ F⊥, una base de R2[x] es B = BF ∪BF⊥ . Expresemos x2 como combinación lineal de los vectores de B : x2 = [α1 · 1 + α2x] + α3(1− 6x+ 6x2). (1)