6. Sea T un operador en un espacio eucĺıdeo de dimensión finita y B una base de E. Sea A la matriz de T en la base B y G la matriz de Gram en la ...

Para demonstrar que a matriz de T t na mesma base B é G−1AtG, podemos usar a definição da matriz de Gram e algumas propriedades das matrizes. Primeiro, vamos considerar a matriz de Gram G. A matriz de Gram é uma matriz simétrica definida como G = [gij], onde gij é o produto interno entre os vetores da base B, ou seja, gij = ⟨bi, bj⟩. Agora, vamos considerar a matriz A de T na base B. A matriz A é definida como A = [aij], onde aij é o coeficiente que relaciona o vetor imagem de bi com a base B. Agora, vamos considerar a matriz de T t na mesma base B. A matriz de T t é definida como T t = [tij], onde tij é o coeficiente que relaciona o vetor imagem de bi com a base B após a transposição. Agora, vamos demonstrar que a matriz de T t na mesma base B é G−1AtG. Para isso, vamos considerar um vetor v na base B. Podemos escrever v como uma combinação linear dos vetores da base B: v = ∑(vibi). Agora, vamos calcular T t(v) na base B. Temos: T t(v) = T t(∑(vibi)) = ∑(viti) Agora, vamos calcular T t(v) usando a matriz de T t na mesma base B: T t(v) = [tij] [vi] = [∑(tijvj)] Agora, vamos calcular T(v) usando a matriz de T na base B: T(v) = [aij] [vi] = [∑(aijvj)] Agora, vamos calcular T(v) usando a matriz de T na base B e a matriz de Gram G: T(v) = [aij] [vi] = [∑(aijvj)] = [∑(aijgjkvk)] = [∑(∑(aijgjk)vk)] Agora, vamos comparar as duas expressões para T(v) e T t(v): [∑(tijvj)] = [∑(∑(aijgjk)vk)] Podemos ver que os coeficientes tij são iguais a ∑(aijgjk), que é exatamente a expressão para a matriz de T t na mesma base B em termos da matriz de T na base B e da matriz de Gram G. Portanto, demonstramos que a matriz de T t na mesma base B é G−1AtG.