2. Sea E el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real [a, b]. Es decir, E = {x : [a, b...

Para demonstrar que f : E × E → C, f(x, y) = ∫ b a x(t) y(t) dt é uma forma sesquilinear, precisamos verificar duas propriedades: linearidade em relação à primeira entrada e conjugação linear em relação à segunda entrada. 1. Linearidade em relação à primeira entrada: Para mostrar que f é linear em relação à primeira entrada, devemos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. - Aditividade: Para quaisquer funções x, y, z em E, temos que f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z). Podemos escrever a integral como uma soma de duas integrais: ∫ b a (x(t) + y(t)) z(t) dt = ∫ b a x(t) z(t) dt + ∫ b a y(t) z(t) dt Portanto, f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z), o que mostra a aditividade. - Homogeneidade: Para qualquer função x em E e qualquer escalar c, temos que f(c * x, y) = c * f(x, y). Podemos escrever a integral como uma multiplicação por escalar: ∫ b a (c * x(t)) y(t) dt = c * ∫ b a x(t) y(t) dt Portanto, f(c * x, y) = c * f(x, y), o que mostra a homogeneidade. 2. Conjugação linear em relação à segunda entrada: Para mostrar que f é conjugação linear em relação à segunda entrada, devemos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. - Aditividade: Para quaisquer funções x, y em E e qualquer número complexo c, temos que f(x, y + c * z) = f(x, y) + c * f(x, z). Podemos escrever a integral como uma soma de duas integrais: ∫ b a x(t) (y(t) + c * z(t)) dt = ∫ b a x(t) y(t) dt + c * ∫ b a x(t) z(t) dt Portanto, f(x, y + c * z) = f(x, y) + c * f(x, z), o que mostra a aditividade. - Homogeneidade: Para qualquer função x, y em E e qualquer número complexo c, temos que f(x, c * y) = conj(c) * f(x, y), onde conj(c) representa o conjugado complexo de c. Podemos escrever a integral como uma multiplicação por escalar: ∫ b a x(t) (c * y(t)) dt = conj(c) * ∫ b a x(t) y(t) dt Portanto, f(x, c * y) = conj(c) * f(x, y), o que mostra a homogeneidade. Assim, demonstramos que f : E × E → C, f(x, y) = ∫ b a x(t) y(t) dt é uma forma sesquilinear.