Capítulo 14. Producto escalar 2. Sea E el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas x = (xn) finitamente no nulas, (es decir con sólo ...

Capítulo 14. Producto escalar
2. Sea E el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas x = (xn) finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que f : E × E → C, f(x, y) = ∑ xjyj es una forma hermítica.
3. Sea E espacio vectorial complejo de dimensión finita y B una base de E. Demostrar que una forma sesquilineal en E es hermítica si y sólo si la matriz de f en B es hermítica.
4. Sea f : E×E → C una forma hermítica y q : E → R su forma cuadrática asociada. Demostrar que para todo x, y ∈ E se verifica f(x, y) = q(x+ y)− q(x− y) 4 + i q(x+ iy)− q(x− iy) 4.
Solución. 1. Ya habíamos demostrado que f es sesquilineal. Además f(y, x) = ∫ b a y(t) x(t) dt = ∫ b a x(t) y(t) dt = ∫ b a x(t) y(t) dt = f(x, y). Es decir, f es forma hermítica.
2. Ya habíamos demostrado que f es sesquilineal. Además para todo x, y ∈ E, f(y, x) = ∑ yjxj = ∑ xjyj = ∑ xjyj = f(x, y). Es decir, f es forma hermítica.
3. Sea B = {u1, . . . , un}. La matriz de f en B es A = [aij ] con aij = f(ui, uj). Si f es hermítica, aji = f(uj , ui) = f(ui, uj) = aij es decir, A es hermítica. Recíprocamente, si A es hermítica se verifica para todo x, y ∈ E : f(y, x) = Y tAX = ( Y tAX )t = ( X )t At ( Y t )t = XtAtY = XtA∗Y = XtAY = f(x, y) es decir, f es forma hermítica.
4. Usando la definición de forma hermítica y de forma cuadrática asociada, tenemos q(x+ y)− q(x− y) 4 = f(x+ y, x+ y)− f(x− y, x− y) 4