Descomponer el polinomio f(x) = x4 − 10x2 + 1 en producto de factores irreducibles, a) En C[x]. b) En R[x]. a) En C[x]. b) En R[x].

Para descompor o polinômio f(x) = x^4 - 10x^2 + 1 em fatores irreduzíveis, vamos considerar as duas situações: a) Em C[x] (números complexos): Podemos reescrever o polinômio como f(x) = (x^2 - 5)^2 - 24. Agora, podemos utilizar a diferença de quadrados para fatorar: f(x) = [(x^2 - 5) - √24][(x^2 - 5) + √24] = [(x^2 - 5) - 2√6][(x^2 - 5) + 2√6] Portanto, o polinômio f(x) = x^4 - 10x^2 + 1 pode ser fatorado em C[x] como (x^2 - 5 - 2√6)(x^2 - 5 + 2√6). b) Em R[x] (números reais): Neste caso, não é possível fatorar o polinômio f(x) = x^4 - 10x^2 + 1 em fatores irreduzíveis com coeficientes reais. Isso ocorre porque o polinômio não possui raízes reais. Portanto, em R[x], o polinômio f(x) = x^4 - 10x^2 + 1 não pode ser fatorado em fatores irreduzíveis com coeficientes reais.