Descomponer el polinomio f(x) = x6 + 1 en producto de factores irreducibles, a) En C[x]. b) En R[x]. a) En C[x]. b) En R[x].

a) Para decompor o polinômio f(x) = x^6 + 1 em fatores irreducíveis em C[x], podemos utilizar a fórmula de diferença de quadrados. Temos: f(x) = x^6 + 1 = (x^3)^2 + 1 = (x^3 + 1)(x^3 - 1) Agora, podemos fatorar ainda mais os fatores obtidos. Temos: x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) Portanto, a decomposição do polinômio f(x) = x^6 + 1 em fatores irreducíveis em C[x] é: f(x) = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1) b) No conjunto dos números reais (R[x]), o polinômio f(x) = x^6 + 1 não pode ser decomposto em fatores irreducíveis, pois não existem raízes reais para esse polinômio. Portanto, a decomposição em fatores irreducíveis em R[x] é simplesmente f(x) = x^6 + 1.