4. (20%) Para la matriz A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 calcular A2, A3, A4 y establecer una regla general para An.

Para calcular A², A³ e A⁴, basta multiplicar a matriz A por ela mesma sucessivamente: A² = A * A A³ = A * A² A⁴ = A * A³ Vamos calcular cada uma delas: A² = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 * 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 A² = 2 0 2 0 1 0 2 0 2 A³ = 1 0 1 2 0 2 2 0 2 0 1 0 * 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 2 A³ = 4 0 4 0 1 0 4 0 4 A⁴ = 1 0 1 4 0 4 4 0 4 0 1 0 * 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 4 0 4 4 0 4 A⁴ = 8 0 8 0 1 0 8 0 8 A partir desses cálculos, podemos estabelecer uma regra geral para An: Se a matriz A é dada por: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Então, para qualquer número natural n, temos: An = 2ⁿ 0 2ⁿ 0 1 0 2ⁿ 0 2ⁿ Essa é a regra geral para calcular a potência n da matriz A.