Exercício 7: Calcule o fluxo do campo ~F(x, y, z) = (ez arctg y , ex ln(z2 + 1) , 2z) através da superfície S parte do paraboloide z = 4 − x2 − y2 ...

Para calcular o fluxo do campo ~F através da superfície S, podemos usar o Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss. O Teorema da Divergência estabelece que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência do campo no volume delimitado pela superfície. No caso do exercício, temos o campo ~F(x, y, z) = (ez arctg y, ex ln(z^2 + 1), 2z) e a superfície S, que é parte do paraboloide z = 4 - x^2 - y^2 acima do plano z = 1. Para calcular a divergência do campo ~F, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação a x, y e z. Em seguida, somamos essas derivadas parciais. A divergência do campo ~F é dada por div ~F = ∂/∂x (ez arctg y) + ∂/∂y (ex ln(z^2 + 1)) + ∂/∂z (2z). Após calcular a divergência do campo ~F, podemos aplicar o Teorema da Divergência para obter o fluxo através da superfície S. A integral tripla da divergência do campo sobre o volume delimitado por S nos dará o valor do fluxo. No entanto, o exercício não fornece informações adicionais sobre a região específica da superfície S ou sobre a orientação do vetor normal ~n. Portanto, não é possível fornecer uma resposta precisa sem essas informações adicionais. Recomendo verificar se há mais informações fornecidas no enunciado do exercício ou consultar seu material de estudo para obter mais detalhes sobre como calcular o fluxo nesse caso específico.