Exerćıcio 3. Determine o volume do sólido: abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região delimitada por y = x2 e x = y2.

Para determinar o volume do sólido abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2 e acima da região delimitada por y = x^2 e x = y^2, podemos utilizar o método da integração dupla. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração. A região delimitada por y = x^2 e x = y^2 é uma região simétrica em relação ao eixo y, portanto, podemos considerar apenas a metade positiva da região. Para encontrar os limites de integração em relação a x, igualamos as duas equações: x^2 = y y = x^2 Resolvendo a equação quadrática, encontramos os pontos de interseção: x^2 = x^4 x^4 - x^2 = 0 x^2(x^2 - 1) = 0 Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1. Agora, vamos encontrar os limites de integração em relação a y. Substituindo y = x^2 na equação y = x^2, temos: x^2 = x^4 x^4 - x^2 = 0 x^2(x^2 - 1) = 0 Novamente, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1. Agora, podemos escrever as integrais duplas para calcular o volume: V = ∬R (x^2 + y^2) dA Onde R é a região delimitada por y = x^2 e x = y^2. Integrando em relação a y primeiro, temos: V = ∫[0,1] ∫[x^2,x] (x^2 + y^2) dy dx Integrando em relação a y, temos: V = ∫[0,1] (x^2y + (y^2/2))|[x^2,x] dx V = ∫[0,1] (x^2(x) + (x^4/2) - (x^2(x^2) + (x^4/2))) dx V = ∫[0,1] (x^3 - x^6) dx Integrando em relação a x, temos: V = (x^4/4 - x^7/7)|[0,1] V = (1/4 - 1/7) - (0/4 - 0/7) V = 7/28 - 4/28 V = 3/28 Portanto, o volume do sólido é 3/28.