Exemplo 3 Use o teste para verificar a convergência da integral imprópria∫ +∞ 9 √ x + 1 2x − 15 dx .

Para verificar a convergência da integral imprópria ∫ +∞ 9 √(x + 1)/(2x - 15) dx, podemos utilizar o teste de convergência de integrais impróprias. Primeiro, observe que a função no integrando possui uma raiz quadrada no numerador e uma expressão polinomial no denominador. Vamos analisar o comportamento da função para x → +∞. Quando x tende ao infinito, a raiz quadrada no numerador se torna dominante e podemos aproximar a função por √(x)/(2x - 15). Agora, vamos analisar o comportamento do denominador. Quando x tende ao infinito, o termo 2x no denominador se torna dominante e podemos aproximar o denominador por 2x. Portanto, a função pode ser aproximada por √(x)/(2x). Agora, vamos aplicar o teste de convergência de integrais impróprias. Para isso, vamos calcular a integral definida ∫ 9 √(x)/(2x) dx de 9 até +∞. ∫ 9 √(x)/(2x) dx = ∫ 9 (1/√(2x)) dx = 9∫ (1/√(2x)) dx Aplicando a regra da potência para integrais, temos: = 9 * 2√(2x) + C Agora, vamos calcular o limite dessa integral definida quando x tende ao infinito: lim (x→+∞) 9 * 2√(2x) = +∞ Como o limite da integral definida é infinito, concluímos que a integral imprópria ∫ +∞ 9 √(x + 1)/(2x - 15) dx diverge. Portanto, a resposta correta é que a integral imprópria não converge.