10. Determine o comprimento da curva f (x) = 2x^(3/2) sobre o intervalo [0, 7].

Para determinar o comprimento da curva f(x) = 2x^(3/2) sobre o intervalo [0, 7], podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco. A fórmula é dada por: L = ∫[a,b] √(1 + (f'(x))^2) dx Onde f'(x) é a derivada de f(x) em relação a x. Vamos calcular a derivada de f(x) primeiro: f(x) = 2x^(3/2) f'(x) = (3/2) * 2 * x^(3/2 - 1) f'(x) = 3x^(1/2) Agora, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco: L = ∫[0,7] √(1 + (3x^(1/2))^2) dx L = ∫[0,7] √(1 + 9x) dx Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Seja u = 1 + 9x, então du = 9dx. A integral se torna: L = (1/9) ∫[1,64] √u du L = (1/9) * (2/3) * (u^(3/2)) | [1,64] L = (2/27) * (64^(3/2) - 1^(3/2)) L = (2/27) * (64^(3/2) - 1) Portanto, o comprimento da curva f(x) = 2x^(3/2) sobre o intervalo [0, 7] é (2/27) * (64^(3/2) - 1).