Equações Diferenciais

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Questão 2. Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento θ. Se n é um número inteiro positivo, prove que zn + 1/zn = 2 cos(nθ)

Aprendendo com Desafios

há 3 anos

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01 Lista de Exercícios de Eq Diferenciais 1 sem 2020

PUC-MINAS

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há 3 anos

Para provar essa igualdade, podemos usar a forma trigonométrica dos números complexos. Seja z = cos(θ) + i sen(θ), onde θ é o argumento de z. Então, podemos escrever zn como: zn = (cos(θ) + i sen(θ))^n Usando a fórmula de De Moivre, temos: zn = cos(nθ) + i sen(nθ) Agora, vamos calcular 1/zn: 1/zn = 1/(cos(nθ) + i sen(nθ)) Multiplicando o numerador e o denominador por cos(nθ) - i sen(nθ), obtemos: 1/zn = (cos(nθ) - i sen(nθ))/(cos^2(nθ) + sen^2(nθ)) Simplificando, temos: 1/zn = cos(nθ) - i sen(nθ) Agora, vamos somar zn e 1/zn: zn + 1/zn = (cos(nθ) + i sen(nθ)) + (cos(nθ) - i sen(nθ)) Simplificando, obtemos: zn + 1/zn = 2 cos(nθ) Portanto, provamos que zn + 1/zn = 2 cos(nθ) para um número complexo z de módulo 1 e argumento θ.

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Questão 1. Seja z um número complexo. Se z + 1/z é um número real, mostre que o argumento de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1.

Questão 3. Determine o lugar geométrico descrito pelo conjunto A = { z ∈ C; (z − i)(z − i) = 4 } e faça seu esboço.

Questão 4. Determine o produto dos números complexos z = x + yi, que tem módulo igual a√2 e se encontram sobre a reta y = 2x− 1 contida no plano complexo.

Questão 5. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = −16i, sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos.

Questão 6. Considere as equações z3 = i e z2+(2+i)z+2i = 0, em que z é um número complexo. Seja S1 o conjunto das raizes da primeira equação e S2 o da segunda. Determine S1 ∩ S2

Questão 7. Considere o número complexo z = a + 2i cujo argumento está no intervalo (0, π/2). Seja S o conjunto de todos os posśıveis valores de a para os quais z6 é um número real. Calcule o produto dos elementos de S.

Questão 8. Determine o valor da potência (√2/(1 + i))^93

Questão 9. O número complexo z = (1− cos a)/(sin a cos a) + i(1− 2 cos a+ 2 sin a)/(sin 2a), com a ∈ (0, π/2), tem argumento igual a π/4. Calcule o valor de a

Questão 10. Definimos uma série de potência centrada em a como o somatório ∞∑ cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · · em que x é uma variável e cn são constantes chamadas coeficientes da série. Suponha que uma função f(x) tenha uma expansão em uma série de potência, ou seja, f(x) possa ser escrita na forma: f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · · . É posśıvel expressar os coeficientes da série em termos das derivadas de f , isto é, cn = f (n)(a)/n!. Logo f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)f ′′(a)/2!(x− a)2 + f ′′′(a)/3!(x− a)3 + · · · Essa série é conhecida por série de Taylor centrado em a. Se a = 0 a série de Taylor se torna f(x) = f(0) + f ′(0)x + f ′′(0)/2!x2 + f ′′′(0)/3!x3 + · · · Esse caso surge com frequência e lhe foi dado o nome especial de série de Maclaurin. a) Determine a série de Maclaurin das funções f(x) = ex, g(x) = cos x e h(x) = sin x, com x ∈ R. b) Admita que as funções do ı́tem (a) f, g e h são iguais a sua série de Maclaurin. Sendo assim, prove que eθi = cos θ + i sin θ, em que i representa a unidade imaginária do conjunto dos números complexos. c) Calcule ii

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Questão 2. Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento θ. Se n é um número inteiro positivo, prove que zn + 1/zn = 2 cos(nθ)

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Questão 1. Seja z um número complexo. Se z + 1/z é um número real, mostre que o argumento de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1.

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Questão 9. O número complexo z = (1− cos a)/(sin a cos a) + i(1− 2 cos a+ 2 sin a)/(sin 2a), com a ∈ (0, π/2), tem argumento igual a π/4. Calcule o valor de a

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