Determine o valor da integral ∭v 3(x+Y) dxdydz, onde V é solido contido na interseção do cilindro x² + y² = 1 e 0 ≤ z ≤ 2 com as regiões x ≥ 0 e y ...

Para determinar o valor da integral ∭v 3(x+y) dxdydz, onde V é um sólido contido na interseção do cilindro x² + y² = 1 e 0 ≤ z ≤ 2 com as regiões x ≥ 0 e y ≥ 0, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos descrever as restrições do sólido V em coordenadas cilíndricas. Temos que 0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2 (devido à restrição x ≥ 0), e 0 ≤ r ≤ 1 (devido à restrição y ≥ 0). Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. A função f(x, y) = 3(x+y) se torna f(r, θ, z) = 3(r*cos(θ) + r*sin(θ)) = 3r(cos(θ) + sin(θ)). A integral se torna ∭v 3r(cos(θ) + sin(θ)) r dz dr dθ. Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável. Para z, temos 0 ≤ z ≤ 2. Para r, temos 0 ≤ r ≤ 1. Para θ, temos 0 ≤ θ ≤ π/2. Agora, podemos calcular a integral: ∭v 3r(cos(θ) + sin(θ)) r dz dr dθ = ∫[0,π/2] ∫[0,1] ∫[0,2] 3r(cos(θ) + sin(θ)) dz dr dθ. Resolvendo a integral, obtemos o valor do resultado.