Determine o valor da integral ∭V 3(x+y) dxdydz ∭V 3(x+y) dxdydz , onde V é o sólido contido na interseção do cilindro x2+y2 =1 e 0≤z≤2 x2+y2 =1 e 0...

Podemos resolver essa integral utilizando coordenadas cilíndricas. O sólido V é a interseção do cilindro x² + y² = 1 com as regiões x ≥ 0 e y ≥ 0, ou seja, é um quarto de cilindro. Além disso, temos que 0 ≤ z ≤ 2. Assim, podemos escrever as coordenadas cilíndricas como: x = r cosθ y = r senθ z = z Onde r varia de 0 a 1, θ varia de 0 a π/2 e z varia de 0 a 2. Também precisamos calcular o Jacobiano da transformação, que é dado por r. Substituindo na integral, temos: ∭V 3(x+y) dxdydz = ∫₀²∫₀^(π/2)∫₀¹ 3(r cosθ + r senθ) r dr dθ dz Resolvendo a integral em relação a r, temos: ∫₀¹ 3(r cosθ + r senθ) r dr = [3/2 r² cosθ + 3/2 r² senθ] de 0 a 1 = 3/2 (cosθ + senθ) Substituindo na integral, temos: ∭V 3(x+y) dxdydz = ∫₀²∫₀^(π/2) 3/2 (cosθ + senθ) dθ dz = 3/2 ∫₀² [sen(π/2) - sen(0) + cos(π/2) - cos(0)] dz = 3/2 ∫₀² 2 dz = 3/2 * 2 * z de 0 a 2 = 6 Portanto, o valor da integral é 6.