Para resolver a integral tripla \(\iiint_V 3(x+y) \, dxdydz\), onde \(V\) é o sólido contido na interseção do cilindro \(x^2+y^2=1\) e \(0 \leq z \leq 2\) com as regiões \(x \geq 0\) e \(y \geq 0\), vamos seguir os seguintes passos: 1. Definir os limites de integração: - O cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) limita \(x\) e \(y\) a um círculo de raio 1. - Como estamos considerando apenas a parte onde \(x \geq 0\) e \(y \geq 0\), estamos limitados ao primeiro quadrante. - Para \(z\), os limites são de 0 a 2. 2. Transformar para coordenadas polares: - Em coordenadas polares, temos \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\), onde \(0 \leq r \leq 1\) e \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\). 3. Reescrever a função a ser integrada: - A função \(3(x+y)\) se torna \(3(r \cos \theta + r \sin \theta) = 3r(\cos \theta + \sin \theta)\). 4. Calcular o Jacobiano: - O elemento de volume em coordenadas polares é \(dA = r \, dr \, d\theta\), e para \(z\) temos \(dz\). 5. Montar a integral: \[ \int_0^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 3r(\cos \theta + \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta \, dz \] 6. Resolver a integral: - Primeiro, integramos em relação a \(r\): \[ \int_0^1 3r^2(\cos \theta + \sin \theta) \, dr = 3(\cos \theta + \sin \theta) \cdot \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 = \cos \theta + \sin \theta \] - Agora, integramos em relação a \(\theta\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \theta + \sin \theta) \, d\theta = \left[\sin \theta - \cos \theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 + 1 = 2 \] - Finalmente, integramos em relação a \(z\): \[ \int_0^2 2 \, dz = 2z \bigg|_0^2 = 4 \] Portanto, o valor da integral é 4.