No problema de valor inicial y′− y = 2, y(0) = y0, determinar como o valor limite de y, quando x→∞ depende de y0.

No problema de valor inicial y′− y = 2, y(0) = y0, o valor limite de y, quando x→∞, depende do valor inicial y0. Para determinar como esse valor limite depende de y0, podemos resolver a equação diferencial. Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea y′− y = 0. A solução geral é dada por yh(x) = Ce^x, onde C é uma constante. Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa y′− y = 2. Podemos tentar uma solução particular da forma yp(x) = A, onde A é uma constante. Substituindo na equação, temos -A - A = 2, o que nos dá A = -1. Portanto, a solução geral da equação completa é dada por y(x) = Ce^x - 1. Agora, vamos considerar o valor limite de y quando x→∞. Se C for positivo, então Ce^x tenderá ao infinito à medida que x aumenta, e o valor limite de y será infinito. Se C for negativo, então Ce^x tenderá a zero à medida que x aumenta, e o valor limite de y será -1. Portanto, o valor limite de y, quando x→∞, depende do sinal de C, que por sua vez depende do valor inicial y0. Se y0 > 1, então C será positivo e o valor limite de y será infinito. Se y0 < 1, então C será negativo e o valor limite de y será -1. Se y0 = 1, então C será zero e o valor limite de y será zero. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.