O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo importante da Matemática, desenvolvido através da Álgebra e da Geometria, que se dedicam ao estudo das t...

Para calcular a integral da função f(x) = 3x + 2 no intervalo de 0 a 2 usando a Regra do Trapézio com n = 4, podemos seguir os seguintes passos: Passo 1: Dividir o intervalo [0, 2] em n subintervalos de igual largura. No nosso caso, n = 4, então teremos os subintervalos: [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5] e [1.5, 2]. Passo 2: Calcular o valor da função em cada ponto do subintervalo. Para cada subintervalo, vamos calcular o valor da função f(x) = 3x + 2 nos pontos extremos e no ponto médio. No subintervalo [0, 0.5]: f(0) = 3(0) + 2 = 2 f(0.5) = 3(0.5) + 2 = 3.5 Ponto médio: (0 + 0.5)/2 = 0.25 f(0.25) = 3(0.25) + 2 = 2.75 No subintervalo [0.5, 1]: f(0.5) = 3(0.5) + 2 = 3.5 f(1) = 3(1) + 2 = 5 Ponto médio: (0.5 + 1)/2 = 0.75 f(0.75) = 3(0.75) + 2 = 4.25 No subintervalo [1, 1.5]: f(1) = 3(1) + 2 = 5 f(1.5) = 3(1.5) + 2 = 6.5 Ponto médio: (1 + 1.5)/2 = 1.25 f(1.25) = 3(1.25) + 2 = 5.75 No subintervalo [1.5, 2]: f(1.5) = 3(1.5) + 2 = 6.5 f(2) = 3(2) + 2 = 8 Ponto médio: (1.5 + 2)/2 = 1.75 f(1.75) = 3(1.75) + 2 = 7.25 Passo 3: Calcular a área de cada trapézio. Para cada subintervalo, vamos calcular a área do trapézio usando a fórmula: área = (base maior + base menor) * altura / 2. No subintervalo [0, 0.5]: Área = (0.5 - 0) * (f(0) + f(0.5)) / 2 = 0.5 * (2 + 3.5) / 2 = 1.75 No subintervalo [0.5, 1]: Área = (1 - 0.5) * (f(0.5) + f(1)) / 2 = 0.5 * (3.5 + 5) / 2 = 4.25 No subintervalo [1, 1.5]: Área = (1.5 - 1) * (f(1) + f(1.5)) / 2 = 0.5 * (5 + 6.5) / 2 = 5.25 No subintervalo [1.5, 2]: Área = (2 - 1.5) * (f(1.5) + f(2)) / 2 = 0.5 * (6.5 + 8) / 2 = 7.25 Passo 4: Somar as áreas dos trapézios. Área total = Área do subintervalo [0, 0.5] + Área do subintervalo [0.5, 1] + Área do subintervalo [1, 1.5] + Área do subintervalo [1.5, 2] Área total = 1.75 + 4.25 + 5.25 + 7.25 = 18.5 Portanto, a integral da função f(x) = 3x + 2 no intervalo de 0 a 2, usando a Regra do Trapézio com n = 4, é igual a 18.5.