O sistema de equações lineares \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} 3x & - & 7y &&= &&a\\ x & + & y &&= && b\\ 5x & + & 3y && = &5a+2b\\ x&+&2...

Para que o sistema de equações lineares tenha exatamente uma solução, é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Vamos calcular o determinante: \[ \begin{vmatrix} 3 & -7 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, encontramos: \[ \begin{align*} \begin{vmatrix} 3 & -7 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix} &= 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \\ \end{vmatrix} - (-7) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & -1 \\ \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 3 \\ \end{vmatrix} \\ &= 3 \cdot (-1 - 0) - (-7) \cdot (-1 - 0) + 1 \cdot (3 - 5) \\ &= -3 + 7 - 2 \\ &= 2 \\ \end{align*} \] Portanto, o determinante da matriz dos coeficientes é igual a 2. Como o determinante é diferente de zero, o sistema possui exatamente uma solução para qualquer valor de a e b.