Agora, utilize os testes anteriores para determinar a convergência das seguintes séries: (a) ∑+∞ n=1 n!/(10^n) (b) ∑+∞ n=1 (-1)^n ln(1/n) (c) ∑+∞...

Vamos analisar a convergência das séries propostas utilizando alguns testes: (a) ∑+∞ n=1 n!/(10^n) Podemos utilizar o teste da razão para analisar a convergência dessa série. Calculando a razão entre os termos consecutivos, temos: lim (n+1)!/(10^(n+1)) * 10^n/n! lim (n+1)/10 Conforme n tende ao infinito, essa razão tende a infinito. Portanto, a série diverge. (b) ∑+∞ n=1 (-1)^n ln(1/n) Podemos utilizar o teste da alternância para analisar a convergência dessa série. Observamos que os termos da série alternam de sinal. Além disso, o valor absoluto de cada termo tende a zero conforme n tende ao infinito. Portanto, a série converge. (c) ∑+∞ n=1 (-1)^(n-1)/(6n/(5n+1)) Podemos utilizar o teste da razão para analisar a convergência dessa série. Calculando a razão entre os termos consecutivos, temos: lim ((-1)^n * (5n+1))/(6(n+1)/5n) lim (-1)^n * (5n+1) * 5n/(6(n+1)) Conforme n tende ao infinito, essa razão tende a -5/6. Como o valor absoluto dessa razão é menor que 1, a série converge. (d) ∑+∞ n=1 (-1)^n/√(2n-1)n Podemos utilizar o teste da razão para analisar a convergência dessa série. Calculando a razão entre os termos consecutivos, temos: lim ((-1)^(n+1))/√(2(n+1)-1) * √(2n-1)/((-1)^n * n) lim -√(2n-1)/√(2n+1) Conforme n tende ao infinito, essa razão tende a -1. Como o valor absoluto dessa razão é menor que 1, a série converge. (e) ∑+∞ n=1 ln(n)/n^2 Podemos utilizar o teste da comparação para analisar a convergência dessa série. Comparando com a série harmônica, temos: ln(n)/n^2 < 1/n^2 A série harmônica ∑+∞ n=1 1/n^2 é conhecida por ser convergente. Portanto, a série dada também converge. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.