1. Determine o intervalo de convergência das seguintes séries: (a) ∑+∞ n=1 xn/(2+n^2) (b) ∑+∞ n=1 2nxn/n^2 (c) ∑+∞ n=1 xn/ln(n+1) (d) ∑+∞ n=1 xn/nn...

Vamos analisar cada uma das séries separadamente para determinar o intervalo de convergência: (a) ∑+∞ n=1 xn/(2+n^2) Para determinar o intervalo de convergência dessa série, podemos utilizar o teste da razão. Calculamos o limite da razão entre os termos consecutivos da série: lim (n→∞) |(xn+1/(2+(n+1)^2)) / (xn/(2+n^2))| Simplificando essa expressão, obtemos: lim (n→∞) |(xn+1*(2+n^2)) / (xn*(2+(n+1)^2))| Aplicando as propriedades dos limites, podemos simplificar ainda mais: lim (n→∞) |(xn+1*(2+n^2)) / (xn*(2+n^2+2n))| lim (n→∞) |(xn+1*(2+n^2)) / (xn*(2+n^2+2n))| = 1 O resultado do limite é igual a 1. Portanto, o teste da razão é inconclusivo e não podemos determinar o intervalo de convergência dessa série apenas com esse teste. Seria necessário utilizar outros métodos, como o teste da comparação ou o teste da integral. (b) ∑+∞ n=1 2nxn/n^2 Essa série é uma série geométrica com razão r = 2x/n. Para que a série seja convergente, a razão deve estar entre -1 e 1. Portanto, temos a seguinte desigualdade: -1 < 2x/n < 1 Resolvendo essa desigualdade, encontramos: -1 < x/n < 1/2 Multiplicando todos os termos por n, obtemos: -n < x < n/2 Portanto, o intervalo de convergência dessa série é -n < x < n/2. (c) ∑+∞ n=1 xn/ln(n+1) Para determinar o intervalo de convergência dessa série, podemos utilizar o teste da razão novamente. Calculamos o limite da razão entre os termos consecutivos da série: lim (n→∞) |(xn+1/ln((n+1)+1)) / (xn/ln(n+1))| Simplificando essa expressão, obtemos: lim (n→∞) |(xn+1*ln(n+1)) / (xn*ln((n+1)+1))| Aplicando as propriedades dos limites, podemos simplificar ainda mais: lim (n→∞) |(xn+1*ln(n+1)) / (xn*ln(n+2))| = 1 O resultado do limite é igual a 1. Portanto, o teste da razão é inconclusivo e não podemos determinar o intervalo de convergência dessa série apenas com esse teste. Seria necessário utilizar outros métodos, como o teste da comparação ou o teste da integral. (d) ∑+∞ n=1 xn/nn Essa série é uma série de potências com base n. Para que a série seja convergente, a base n deve estar entre 0 e 1. Portanto, temos a seguinte desigualdade: 0 < n < 1 Portanto, o intervalo de convergência dessa série é 0 < n < 1. (e) ∑+∞ n=1 (-1)^n xn/(2n-1)^(3(2n-1)) Essa série é uma série alternada com termos positivos e negativos. Para que a série seja convergente, o termo geral deve tender a zero. Portanto, temos a seguinte condição: lim (n→∞) |(-1)^n xn/(2n-1)^(3(2n-1))| = 0 Essa condição é satisfeita quando o numerador xn tende a zero. Portanto, o intervalo de convergência dessa série depende do valor de xn. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.