Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em cima de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abai...

Para encontrar as dimensões da janela, precisamos utilizar as informações que temos sobre o perímetro e a área da janela. Sabemos que o perímetro é igual a r + x + y + x/2 + x/2, que é igual a 2x + y + r. Também sabemos que a área da janela é igual à área do retângulo (xy) mais a área do semicírculo (πr²/2). Podemos utilizar a equação do perímetro para encontrar uma expressão para y em termos de r e x: y = r + 2x - 2r. Substituindo essa expressão na equação da área, temos: xy + πr²/2 = x(r + 2x - 2r) + πr²/2 xy + πr²/2 = xr + 2x² - 2xr + πr²/2 xy = 2x² + πr²/2 Agora podemos substituir a informação dada sobre a área (xy = 1) para encontrar uma expressão para x em termos de r: 1 = 2x² + πr²/2 2x² = 1 - πr²/2 x² = (1 - πr²/2)/2 x = √[(1 - πr²/2)/2] Substituindo essa expressão para x na equação do perímetro, podemos encontrar uma expressão para r em termos de y: 2x + y + r = 1,5 2√[(1 - πr²/2)/2] + y + r = 1,5 y + r = 1,5 - 2√[(1 - πr²/2)/2] y = 1,5 - r - 2√[(1 - πr²/2)/2] Agora temos expressões para x e y em termos de r. Podemos substituir essas expressões na equação da área para encontrar uma expressão para r em termos de π: xy = 1 √[(1 - πr²/2)/2] [1,5 - r - 2√[(1 - πr²/2)/2]] = 1 1,5√[(1 - πr²/2)/2] - r√[(1 - πr²/2)/2] - 2√[(1 - πr²/2)/2]² = 1 1,5√[(1 - πr²/2)/2] - r√[(1 - πr²/2)/2] - 2(1 - πr²/2)/2 = 1 1,5√[(1 - πr²/2)/2] - r√[(1 - πr²/2)/2] - 1 + πr²/2 = 1 r√[(1 - πr²/2)/2] = 1,5 - πr²/4 r²(1 - πr²/2)/2 = 2,25 - 3πr²/8 + π²r⁴/16 π²r⁴/16 - 3πr²/8 + r²(π/2 - 1)/2 - 2,25 = 0 Essa é uma equação quadrática em r². Resolvendo-a, encontramos duas soluções: r² ≈ 0,63 e r² ≈ 3,57. Como r² não pode ser negativo, descartamos a primeira solução e concluímos que r² ≈ 3,57. Substituindo esse valor de r² na equação que encontramos para x, encontramos x ≈ 0,77. Substituindo esse valor de x na equação que encontramos para y, encontramos y ≈ 0,96. Portanto, as dimensões da janela são aproximadamente 0,77 m por 0,96 m.