Para encontrar a direção na qual a função \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \) aumenta mais rapidamente no ponto \((-1, 1)\), precisamos calcular o gradiente da função, que nos dará a direção de maior crescimento. 1. Calcular as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y \) 2. Avaliar as derivadas parciais no ponto \((-1, 1)\): - \( f_x(-1, 1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \) - \( f_y(-1, 1) = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \) 3. Formar o gradiente: - O gradiente \( \nabla f(-1, 1) = (-1, 1) \) 4. Encontrar a direção unitária: - A direção unitária \( \mathbf{u} \) é dada por \( \mathbf{u} = \frac{\nabla f}{\|\nabla f\|} \). - A norma \( \|\nabla f\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \). - Portanto, a direção unitária é \( \mathbf{u} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). 5. Calcular a derivada direcional: - A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \|\nabla f\| = \sqrt{2} \). Agora, analisando as alternativas: A. \( \mathbf{v} = (1, 1) \) e \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \sqrt{2} \) - Incorreto, direção errada. B. \( \mathbf{v} = (1, -1) \) e \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \sqrt{2} \) - Incorreto, direção errada. C. \( \mathbf{v} = (-1, 1) \) e \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \sqrt{2} \) - Correto, direção correta. D. \( \mathbf{v} = (-1, -1) \) e \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \sqrt{2} \) - Incorreto, direção errada. E. \( \mathbf{v} = (0, 1) \) e \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \sqrt{2} \) - Incorreto, direção errada. Portanto, a alternativa correta é: C. \( \mathbf{v} = (-1, 1) \) e \( D_{\mathbf{u}}f(-1, 1) = \sqrt{2} \).