Calcule ∫C 6xds na qual C é o caminho y = x² de x = –1 a x = 2, no sentido do aumento do valor da coordenada x. A. 16/3 B. 10/3 C. 8/3 D. 2/3 E. ...

Para calcular a integral ∫C 6xds, precisamos primeiro encontrar a expressão para ds. Podemos usar a fórmula ds = √(1 + (dy/dx)²) dx para encontrar a expressão para ds. Como y = x², temos dy/dx = 2x. Substituindo na fórmula, temos: ds = √(1 + (2x)²) dx ds = √(1 + 4x²) dx Agora podemos substituir essa expressão na integral ∫C 6xds e resolver: ∫C 6xds = ∫-1² 6x√(1 + 4x²) dx Fazendo a substituição u = 1 + 4x², temos du/dx = 8x e dx = du/8x. Substituindo na integral, temos: ∫C 6xds = ∫5¹³ (3/4)√u du ∫C 6xds = (3/4) * (2/3) * (5¹³ - 1) ∫C 6xds = 10/3 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 10/3.