Para calcular a integral de linha \(\int_C 6x \, ds\), onde \(C\) é o caminho dado por \(y = x^2\) de \(x = -1\) a \(x = 2\), precisamos primeiro expressar \(ds\) em termos de \(dx\). O elemento de comprimento de arco \(ds\) é dado por: \[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Calculando \(\frac{dy}{dx}\): \[ y = x^2 \implies \frac{dy}{dx} = 2x \] Portanto, \[ ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \] Agora, substituímos na integral: \[ \int_C 6x \, ds = \int_{-1}^{2} 6x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \] Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição ou métodos numéricos, mas vamos calcular o valor. Após resolver a integral, encontramos que: \[ \int_{-1}^{2} 6x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx = \frac{16}{3} \] Portanto, a alternativa correta é: A. 16/3.