Para encontrar a direção na qual a função \( f(x, y, z) = \frac{x}{y} - yz \) diminui mais rapidamente no ponto \( (4, 1, 1) \), precisamos calcular o gradiente da função e, em seguida, determinar a direção oposta a esse gradiente. 1. Calcular o gradiente \( \nabla f \): - A derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{y} - yz \right) = \frac{1}{y} \] - A derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{y} - yz \right) = -\frac{x}{y^2} - z \] - A derivada parcial em relação a \( z \): \[ f_z = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{x}{y} - yz \right) = -y \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( (4, 1, 1) \): - \( f_x(4, 1, 1) = \frac{1}{1} = 1 \) - \( f_y(4, 1, 1) = -\frac{4}{1^2} - 1 = -4 - 1 = -5 \) - \( f_z(4, 1, 1) = -1 \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(4, 1, 1) = (1, -5, -1) \] 3. Direção de maior diminuição: A direção de maior diminuição é oposta ao gradiente: \[ v = (-1, 5, 1) \] 4. Cálculo da derivada direcional: A derivada direcional na direção \( v \) é dada por: \[ D_u f(4, 1, 1) = -\|\nabla f(4, 1, 1)\| = -\sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = -\sqrt{1 + 25 + 1} = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3} \] Agora, analisando as alternativas: - A. \( v = (1, 5, 1) \) e \( D_u f(4, 1, 1) = -3\sqrt{3} \) (incorreto) - B. \( v = (1, -5, 1) \) e \( D_u f(4, 1, 1) = -3\sqrt{3} \) (incorreto) - C. \( v = (-1, 5, 1) \) e \( D_u f(4, 1, 1) = -3\sqrt{3} \) (correto) - D. \( v = (-1, -5, 1) \) e \( D_u f(4, 1, 1) = -3\sqrt{3} \) (incorreto) - E. \( v = (0, 5, 1) \) e \( D_u f(4, 1, 1) = -3\sqrt{3} \) (incorreto) Portanto, a alternativa correta é: C. \( v = (-1, 5, 1) \) e \( D_u f(4, 1, 1) = -3\sqrt{3} \).