5. Determine o intervalo de convergência da série ∑∞=−−0123)12(nn)1(nn)nxn.

Para determinar o intervalo de convergência da série ∑∞=−−0123)12(nn)1(nn)nxn, podemos utilizar o teste da razão ou o teste da comparação. Usando o teste da razão, temos: lim n→∞ |(n+1)^(1/n) * x| / |n^(1/n) * x| = lim n→∞ (n+1)^(1/n) / n^(1/n) = 1 Portanto, o teste da razão é inconclusivo. Usando o teste da comparação, podemos comparar a série dada com a série geométrica ∑∞=1ar^n, onde a = 1/2 e r = x/4. Para que a série dada seja convergente, a série geométrica correspondente também deve ser convergente. Assim, temos: | x/4 | < 1 -1 < x/4 < 1 -4 < x < 4 Portanto, o intervalo de convergência da série é -4 < x < 4.