4. Dado o campo j yx y i yx xF ρρρ 2222 + + + = mostrar que ∫ = c rdF 0, ρρ para toda curva fachada simples c , re...

O campo dado é: j = yxi + yxj + xFρ Para mostrar que ∫c j.dr = 0, onde c é uma curva fachada simples, regular por parte que circunda a origem, podemos utilizar o Teorema de Stokes. Assim, temos: ∫c j.dr = ∬S (∇ x j).dS Onde S é a superfície delimitada pela curva c. Calculando o rotacional de j, temos: ∇ x j = (dF/dy - dρ/dx)i + (dF/dx + dρ/dy)j Substituindo os valores de j, temos: ∇ x j = (x - 2y)k Como a curva c é regular por parte que circunda a origem, podemos escolher uma superfície S que tenha c como borda e que seja simétrica em relação ao plano xy. Assim, podemos dividir S em duas partes iguais, S1 e S2, que possuem a mesma área e são simétricas em relação ao plano xy. Como o campo j é simétrico em relação ao plano xy, temos que o fluxo de j através de S1 é igual ao fluxo de j através de S2, mas com sinais opostos. Portanto, o fluxo total de j através de S é zero. Assim, temos: ∫c j.dr = ∬S (∇ x j).dS = 0 Portanto, a integral de linha de j ao longo de qualquer curva fachada simples, regular por parte que circunda a origem é igual a zero.