3) Considere a função 2x4 )y,x(,e)y(ln)y,x(f ℜ∈= . a. Usando o Lema Fundamental, mostre que f é diferenciável em todo ℜ2. b. Calcule xyf e yxf...

a. Para mostrar que f é diferenciável em todo ℜ2, precisamos verificar se f é contínua em todo ℜ2 e se as suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo ℜ2. Começando pela continuidade de f, observe que a função exponencial e a função logarítmica são contínuas em todo ℜ, e a função polinomial 2x^4 é contínua em todo ℜ. Portanto, a função f é contínua em todo ℜ2. Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y: fx(x,y) = 8x^3eylny fy(x,y) = (2x^4/y + ln y)eylny Para verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todo ℜ2, podemos calcular as suas derivadas parciais em relação a x e y: fxx(x,y) = 24x^2eylny fxy(x,y) = (8x^3/y + 1)eylny + 2x^4eylny/y fyx(x,y) = (8x^3/y + 1)eylny + 2x^4eylny/y fyy(x,y) = (2x^4/y^2 + 1/y)eylny + ln y(2x^4/y + ln y)eylny Observe que todas essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo ℜ2, pois as funções exponencial, logarítmica e polinomial são diferenciáveis em todo ℜ. Portanto, podemos concluir que f é diferenciável em todo ℜ2. b. Para calcular xyf, basta aplicar a regra da cadeia: xyf = fx(x,y) = 8x^3eylny Para calcular yxf, também podemos aplicar a regra da cadeia: yxf = fy(x,y) = (2x^4/y + ln y)eylny