3) Calcule o volume do sólido, no 1º octante, limitado pelos planos z = x + y + 1, z = 0, x = 0, y = 0 e x + y = 1.

Para calcular o volume do sólido, podemos utilizar o método da integração tripla. Primeiro, vamos escrever as equações dos planos em termos de x, y e z: z = x + y + 1 z = 0 x = 0 y = 0 x + y = 1 A partir da última equação, podemos escrever y = 1 - x. Substituindo nas outras equações, temos: z = 2 - x z = 0 x = 0 y = 0 Agora, podemos escrever as integrais para calcular o volume: V = ∫∫∫ dV Onde as integrais são: ∫ de 0 a 1-x ∫ de 0 a ∞ ∫ de x+y+1 a 0 dz dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫ de 0 a 1 ∫ de 0 a 1-x ∫ de x+y+1 a 0 dz dy dx V = ∫ de 0 a 1 ∫ de 0 a 1-x (-x-y+2) dy dx V = ∫ de 0 a 1 ∫ de 0 a 1-x (-x+y+2) dy dx V = ∫ de 0 a 1 (-x^2/2 + 2x) dx V = 1/6 Portanto, o volume do sólido é 1/6 unidades cúbicas.